I. Vecteurs de l'espace
Tout ce qui a été construit sur les vecteurs du plan se transporte dans l'espace sans changement : mêmes définitions, mêmes règles de calcul. La nouveauté tient au nombre de directions indépendantes, qui passe de deux à trois.
Un vecteur de l'espace est défini par une direction, un sens et une longueur, exactement comme dans le plan. La relation de Chasles et le produit par un réel gardent le même sens.
Une combinaison linéaire des vecteurs et est un vecteur de la forme , où et sont deux réels.
Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l'un est un multiple de l'autre.
Trois vecteurs sont coplanaires lorsqu'ils admettent des représentants situés dans un même plan, ce qui revient à dire que l'un d'eux est une combinaison linéaire des deux autres.
Trois vecteurs , , non coplanaires forment une base de l'espace : tout vecteur s'écrit alors de façon unique
Les réels , , sont les coordonnées de dans cette base. En ajoutant un point origine , on obtient un repère de l'espace.
Sur une figure, reconnaître une base revient à vérifier que les trois vecteurs ne sont pas aplatis dans un même plan. Les trois arêtes d'un cube issues d'un même sommet en forment une, ce qui explique qu'un cube serve de support à presque tous les exercices.
II. Droites de l'espace
La droite passant par un point et de vecteur directeur non nul est l'ensemble des points tels que le vecteur soit colinéaire à , c'est-à-dire tels qu'il existe un réel vérifiant
Trois points , , sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.
Dans l'espace, deux droites peuvent être coplanaires ou non.
Si elles sont coplanaires, elles sont parallèles, éventuellement confondues, ou sécantes en un point.
Si elles ne sont pas coplanaires, elles sont dites non coplanaires : elles ne se coupent pas et ne sont pas parallèles. Cette situation n'existe pas dans le plan, et c'est le principal piège du chapitre.
III. Plans de l'espace
Le plan passant par un point et dirigé par deux vecteurs non colinéaires et est l'ensemble des points tels qu'il existe deux réels et vérifiant
Le couple s'appelle une direction du plan.
Quatre points , , , sont coplanaires si et seulement si les vecteurs , et sont coplanaires, c'est-à-dire si l'un s'écrit comme combinaison linéaire des deux autres.
La démarche consiste à chercher deux réels et tels que
En coordonnées, cette égalité vectorielle donne un système de trois équations à deux inconnues. S'il admet une solution, les points sont coplanaires ; sinon, ils ne le sont pas.
Une droite et un plan sont soit parallèles, la droite pouvant être contenue dans le plan, soit sécants en un unique point.
Deux plans sont soit parallèles, éventuellement confondus, soit sécants selon une droite.
Deux plans sécants ne se coupent jamais en un seul point : leur intersection est toujours une droite.
On considère un cube et le repère . Les sommets ont alors des coordonnées très simples, par exemple , et .
Le vecteur a pour coordonnées , et il se décompose en : la grande diagonale du cube est la somme des trois arêtes issues du même sommet.
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