Vecteurs, droites et plans de l'espace

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   On considère les vecteurs de l'espace $\vec{u}(1 ; -2 ; 3)$ et $\vec{v}(-2 ; 4 ; -6)$.

   1. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires ? Justifie.
   2. Calcule les coordonnées du vecteur $\vec{w} = 2\vec{u} + \vec{v}$.
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   Deux vecteurs sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\,\vec{u}$. Pour une combinaison linéaire, on opère coordonnée par coordonnée.

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   1. On cherche $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$. On a $-2 = k \times 1$ donc $k = -2$. Vérifions : $-2 \times (-2) = 4$ (deuxième coordonnée) et $-2 \times 3 = -6$ (troisième coordonnée). Toutes les coordonnées conviennent, donc $\vec{v} = -2\vec{u}$ : les vecteurs sont colinéaires.
   2. On calcule : $2\vec{u} = (2 ; -4 ; 6), \qquad \vec{w} = 2\vec{u} + \vec{v} = (2-2 ; -4+4 ; 6-6) = (0 ; 0 ; 0).$ Ainsi $\vec{w} = \vec{0}$, ce qui est cohérent car $\vec{v} = -2\vec{u}$.
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Dans un repère de l'espace, on donne les points $A(1 ; 0 ; 2)$, $B(3 ; -1 ; 4)$ et $C(-1 ; 1 ; 0)$.

   1. Détermine les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
   2. Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
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   $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$. Trois points sont alignés si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

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   1. On calcule : $\vec{AB} = (3-1 ; -1-0 ; 4-2) = (2 ; -1 ; 2),$ $\vec{AC} = (-1-1 ; 1-0 ; 0-2) = (-2 ; 1 ; -2).$
   2. On remarque que $\vec{AC} = -\vec{AB}$ : les deux vecteurs sont colinéaires. Donc les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   On considère la droite $d$ passant par le point $A(2 ; -1 ; 3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1 ; 2 ; -1)$.

   1. Donne une représentation paramétrique de la droite $d$.
   2. Le point $B(4 ; 3 ; 1)$ appartient-il à $d$ ?
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   Un point $M(x ; y ; z)$ appartient à $d$ si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que $\vec{AM} = t\,\vec{u}$.

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   1. Un point $M(x;y;z)$ appartient à $d$ si $\vec{AM} = t\vec{u}$ pour un réel $t$. On obtient : $\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 3 - t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$
   2. Cherchons $t$ tel que $B$ vérifie ce système. La première équation donne $4 = 2 + t$, soit $t = 2$. Vérifions : $y = -1 + 2 \times 2 = 3$ (correct) et $z = 3 - 2 = 1$ (correct). Toutes les coordonnées conviennent avec $t = 2$, donc $B \in d$.
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   On considère les points $A(1 ; 0 ; 0)$, $B(0 ; 1 ; 0)$ et $C(0 ; 0 ; 1)$.

   1. Montre que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires.
   2. Que peut-on en déduire pour les points $A$, $B$ et $C$ ?
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   Deux vecteurs sont non colinéaires s'il n'existe aucun réel $k$ liant leurs coordonnées. Trois points non alignés définissent un plan.

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   1. On a $\vec{AB} = (-1 ; 1 ; 0)$ et $\vec{AC} = (-1 ; 0 ; 1)$. Supposons $\vec{AC} = k\vec{AB}$. La première coordonnée donne $-1 = -k$, soit $k = 1$. Mais alors la deuxième coordonnée devrait valoir $k \times 1 = 1$, or elle vaut $0$. C'est contradictoire, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.
   2. Comme $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires, les points $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés : ils définissent un plan, caractérisé par le point $A$ et le couple de vecteurs directeurs $(\vec{AB}, \vec{AC})$.
5. 5

   Position relative de deux droites

   Moyen

   Dans un repère de l'espace, on considère les droites

   $$d : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 3 - t \end{cases} \quad \text{et} \quad d' : \begin{cases} x = 5 + s \\ y = 1 - s \\ z = 1 + 2s \end{cases}$$

   avec $t, s \in \mathbb{R}$.

   1. Donne un vecteur directeur de chaque droite. Ces droites sont-elles parallèles ?
   2. Les droites $d$ et $d'$ sont-elles sécantes ? Si oui, détermine leur point d'intersection.
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   Les droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Pour l'intersection, résous le système obtenu en égalant les coordonnées.

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6. 6

   Repère et vecteurs dans un cube

   Moyen

   On considère le cube $ABCDEFGH$ (où $ABCD$ et $EFGH$ sont deux faces, $E$ au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, etc.). On munit l'espace du repère $(A ; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$.

   1. Donne les coordonnées des points $A$, $B$, $D$, $E$, $G$ et $F$ dans ce repère.
   2. Montre que $\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE}$.
   3. Le vecteur $\vec{AG}$ appartient-il au plan $(ABD)$ ? Justifie.
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   Dans ce repère, $\vec{AB}$, $\vec{AD}$, $\vec{AE}$ forment une base. Le plan $(ABD)$ a pour vecteurs directeurs $\vec{AB}$ et $\vec{AD}$ : un vecteur y appartient si sa composante selon $\vec{AE}$ est nulle.

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7. 7

   Points coplanaires dans l'espace

   Moyen

   Dans un repère de l'espace, on considère les points $A(0 ; 1 ; 2)$, $B(2 ; 3 ; 2)$, $C(1 ; 0 ; 4)$ et $D(3 ; 2 ; 4)$.

   1. Détermine les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$. Que peut-on en déduire pour les droites $(AB)$ et $(CD)$ ?
   2. Les points $A$, $B$, $C$, $D$ sont-ils coplanaires ? Justifie.
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   Si $\vec{AB} = \vec{CD}$, alors $ABDC$ est un parallélogramme. Quatre points sont coplanaires si $\vec{AD}$ est combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   On considère trois points $A$, $B$ et $C$ de l'espace, non alignés. On appelle $G$ le barycentre du système $\{(A, 2), (B, 1), (C, 1)\}$.

   1. Rappelle la relation vectorielle définissant $G$, puis exprime $\vec{AG}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
   2. En déduire que $G$ appartient au plan $(ABC)$.
   3. Dans le repère $(A ; \vec{AB}, \vec{AC})$ du plan $(ABC)$, donne les coordonnées de $G$.
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   Soient $A$, $B$, $C$ trois points de l'espace et $\vec{f}$ la fonction vectorielle de Leibniz définie pour tout point $M$ par

   $$\vec{f}(M) = 2\vec{MA} + \vec{MB} - 3\vec{MC}.$$

   1. Montre que $\vec{f}(M)$ est en réalité indépendant du point $M$ (vecteur constant), et exprime-le en fonction de $\vec{CA}$ et $\vec{CB}$.
   2. On change les coefficients : on pose maintenant $\vec{g}(M) = 2\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}$. Montre qu'il existe un unique point $G$ tel que $\vec{g}(G) = \vec{0}$ et identifie $G$.
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