Ascension Maths

I. Le raisonnement par récurrence

Certaines propriétés dépendent d'un entier $n$ et doivent être établies pour toutes ses valeurs. Les vérifier une à une est impossible ; la récurrence contourne l'obstacle en montrant que la propriété se transmet d'un rang au suivant.

ThéorèmePrincipe de récurrence

On considère une propriété $P(n)$ dépendant d'un entier naturel $n$ . Si les deux conditions suivantes sont réunies, alors $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geqslant n_0$ :

l'initialisation, c'est-à-dire $P(n_0)$ est vraie ;

l'hérédité, c'est-à-dire pour tout $n \geqslant n_0$ , si $P(n)$ est vraie alors $P(n+1)$ l'est aussi.

MéthodeRédiger une récurrence

La rédaction attendue comporte quatre parties, et chacune rapporte des points.

Énoncer clairement la propriété $P(n)$ .
Vérifier l'initialisation au premier rang.
Supposer $P(n)$ vraie pour un entier $n$ fixé, puis démontrer $P(n+1)$ en utilisant explicitement cette hypothèse.
Conclure par le principe de récurrence.

Attention

L'hypothèse de récurrence doit servir dans la démonstration de l'hérédité. Une démonstration de $P(n+1)$ qui ne l'utilise jamais est le signe qu'une récurrence n'était pas nécessaire, ou qu'une erreur s'est glissée dans le raisonnement.

Démonstration : Inégalité de Bernoulli

Montrons que pour tout réel $a>0$ et tout entier naturel $n$ :

(1+a)^n \geqslant 1+na

Notons $P(n)$ cette inégalité.

Initialisation. Pour $n=0$ , le membre de gauche vaut $1$ et celui de droite aussi : la propriété est vraie.

Hérédité. Supposons $P(n)$ vraie pour un entier $n$ fixé. Comme $1+a>0$ , on peut multiplier l'inégalité par ce nombre sans changer son sens :

(1+a)^{n+1} \geqslant (1+na)(1+a)=1+(n+1)a+na^2

Le terme $na^2$ est positif, donc $(1+a)^{n+1} \geqslant 1+(n+1)a$ , ce qui est exactement $P(n+1)$ .

Conclusion. L'inégalité est vraie pour tout entier naturel $n$ .

II. Limite d'une suite

DéfinitionLimite infinie

La suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ lorsque tout intervalle de la forme $[A\,;+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Autrement dit, quelle que soit la barre fixée, la suite finit par la dépasser définitivement. La définition pour $-\infty$ est analogue.

DéfinitionLimite finie

La suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ lorsque tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On écrit alors

\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell

Une suite qui ne converge pas est dite divergente : soit elle tend vers l'infini, soit elle n'a pas de limite du tout.

Exemple

La suite de terme général $\dfrac{1}{n}$ converge vers $0$ . La suite de terme général $n^2$ tend vers $+\infty$ . La suite de terme général $(-1)^n$ n'a pas de limite : elle alterne indéfiniment entre $-1$ et $1$ .

PropriétéOpérations sur les limites

Les limites d'une somme, d'un produit et d'un quotient se calculent comme on l'attend, à quatre exceptions près, appelées formes indéterminées :

\infty-\infty \qquad 0 \times \infty \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \frac{0}{0}

Devant l'une d'elles, le calcul direct ne conclut pas : il faut transformer l'expression, en factorisant le terme dominant par exemple.

Exemple

Pour la suite de terme général $u_n = n^2-3n$ , le calcul direct donne la forme indéterminée $\infty-\infty$ . En factorisant :

u_n = n^2\left(1-\frac{3}{n}\right)

Le premier facteur tend vers $+\infty$ et le second vers $1$ , donc la suite tend vers $+\infty$ .

III. Théorèmes de comparaison

ThéorèmeComparaison

On considère deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que $u_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang.

Si $(u_n)$ tend vers $+\infty$ , alors $(v_n)$ aussi.

Si $(v_n)$ tend vers $-\infty$ , alors $(u_n)$ aussi.

Démonstration : Divergence par minoration

Supposons que $u_n \leqslant v_n$ à partir d'un rang $n_1$ , et que $(u_n)$ tende vers $+\infty$ .

Soit $A$ un réel quelconque. Comme $(u_n)$ tend vers $+\infty$ , il existe un rang $n_2$ à partir duquel $u_n \geqslant A$ .

À partir du rang $n_0$ , le plus grand des deux rangs $n_1$ et $n_2$ , les deux conditions sont réunies, donc

v_n \geqslant u_n \geqslant A

Tout intervalle $[A\,;+\infty[$ contient donc tous les termes de $(v_n)$ à partir d'un certain rang : la suite $(v_n)$ tend vers $+\infty$ .

ThéorèmeThéorème des gendarmes

Si $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$ à partir d'un certain rang, et si les suites $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent toutes deux vers le même réel $\ell$ , alors la suite $(v_n)$ converge également vers $\ell$ .

Exemple

Pour la suite de terme général $v_n = \dfrac{\sin n}{n}$ , l'encadrement $-1 \leqslant \sin n \leqslant 1$ donne, pour $n>0$ :

-\frac{1}{n} \leqslant v_n \leqslant \frac{1}{n}

Les deux suites encadrantes convergent vers $0$ , donc $(v_n)$ converge vers $0$ .

ThéorèmeThéorème de la limite monotone

Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.

Ce théorème est admis. Il affirme l'existence de la limite sans en donner la valeur, ce qui suffit dans beaucoup de raisonnements.

Démonstration : Une suite croissante non majorée tend vers

+\infty

On considère une suite $(u_n)$ croissante et non majorée, et un réel $A$ quelconque.

Comme la suite n'est pas majorée, le réel $A$ n'en est pas un majorant : il existe donc un rang $n_0$ tel que $u_{n_0}>A$ .

La suite étant croissante, pour tout $n \geqslant n_0$ :

u_n \geqslant u_{n_0}>A

L'intervalle $[A\,;+\infty[$ contient donc tous les termes à partir du rang $n_0$ . Ceci valant pour tout réel $A$ , la suite tend vers $+\infty$ .

IV. Comportement de $q^n$

ThéorèmeLimite d'une suite géométrique

On considère un réel $q$ .

Si $q>1$ , la suite de terme général $q^n$ tend vers $+\infty$ .

Si $-1<q<1$ , elle converge vers $0$ .

Si $q=1$ , elle est constante égale à $1$ .

Si $q \leqslant -1$ , elle n'a pas de limite.

Démonstration : Cas

q>1

Comme $q>1$ , on peut écrire $q = 1+a$ avec $a>0$ . L'inégalité de Bernoulli démontrée plus haut donne, pour tout entier $n$ :

q^n = (1+a)^n \geqslant 1+na

La suite de terme général $1+na$ est arithmétique de raison $a>0$ , donc elle tend vers $+\infty$ . Par comparaison, la suite de terme général $q^n$ tend elle aussi vers $+\infty$ .

Exemple

La suite de terme général $u_n = 3 \times 0{,}8^n$ converge vers $0$ , puisque la raison $0{,}8$ est strictement comprise entre $-1$ et $1$ .

La suite de terme général $v_n = 2 \times 1{,}05^n$ tend vers $+\infty$ : c'est le modèle d'une croissance de $5\,\%$ par période, qui finit par dépasser toute limite fixée.

MéthodeÉtudier une suite définie par récurrence

Pour une suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ , la marche à suivre est presque toujours la même.

Démontrer par récurrence un encadrement ou une monotonie.
En déduire la convergence par le théorème de la limite monotone.
Déterminer la valeur de la limite en résolvant l'équation $\ell = f(\ell)$ , ce qui suppose la continuité de $f$ , étudiée dans le chapitre correspondant.

Suites

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Le raisonnement par récurrence

II. Limite d'une suite

III. Théorèmes de comparaison

IV. Comportement de $q^n$

Suites

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Le raisonnement par récurrence

II. Limite d'une suite

III. Théorèmes de comparaison

IV. Comportement de qnq^nqn

IV. Comportement de $q^n$