Suites

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 2u_n + 1$. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2^{n+1} - 1$.

   Voir un indice

   Une récurrence comporte trois étapes : l'initialisation (au rang $0$), l'hypothèse de récurrence (on suppose la propriété vraie au rang $n$) et l'hérédité (on la démontre au rang $n+1$).

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   Soit $P(n)$ la propriété : « $u_n = 2^{n+1} - 1$ ».

   Initialisation. Pour $n=0$ : $2^{0+1} - 1 = 2 - 1 = 1 = u_0$. Donc $P(0)$ est vraie.

   Hérédité. Supposons $P(n)$ vraie pour un entier $n$ fixé, c'est-à-dire $u_n = 2^{n+1} - 1$. Alors :

   $$u_{n+1} = 2u_n + 1 = 2\left(2^{n+1} - 1\right) + 1 = 2^{n+2} - 2 + 1 = 2^{n+2} - 1 = 2^{(n+1)+1} - 1.$$

   Donc $P(n+1)$ est vraie.

   Conclusion. Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2^{n+1} - 1$.

2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

   $$u_n = \frac{3n^2 + 2n - 1}{n^2 + 1}.$$
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   Factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré, ici $n^2$.

   Voir la correction

   Pour $n\geq 1$, on factorise par $n^2$ :

   $$u_n = \frac{n^2\left(3 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(1 + \dfrac{1}{n^2}\right)} = \frac{3 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{n^2}}{1 + \dfrac{1}{n^2}}.$$

   Or $\dfrac{2}{n}\to 0$, $\dfrac{1}{n^2}\to 0$ quand $n\to+\infty$. Donc le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $1$. Par quotient :

   $$\lim_{n\to+\infty} u_n = \frac{3}{1} = 3.$$
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 3$. Étudier la convergence de la suite $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)$ puis en déduire la limite de $(v_n)$.

   Voir un indice

   Rappel : pour $q$ tel que $-1 < q < 1$, la suite $(q^n)$ converge vers $0$.

   Voir la correction

   On pose $q = \dfrac{1}{2}$. Comme $-1 < \dfrac{1}{2} < 1$, on a :

   $$\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0.$$

   Par produit puis par somme :

   $$\lim_{n\to+\infty} 2\left(\frac{1}{2}\right)^n = 0, \qquad \lim_{n\to+\infty} v_n = 0 + 3 = 3.$$

   La suite $(v_n)$ converge donc vers $3$.

4. 4

   Exercice 4

   Facile

   On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n\geq 1$ par :

   $$u_n = \frac{\cos(n)}{n+1}.$$

   Démontrer que $(u_n)$ converge et préciser sa limite.

   Voir un indice

   Utiliser l'encadrement $-1 \leq \cos(n) \leq 1$ et le théorème des gendarmes.

   Voir la correction

   Pour tout entier $n\geq 1$, on a $-1 \leq \cos(n) \leq 1$. Comme $n+1 > 0$, on peut diviser par $n+1$ sans changer le sens des inégalités :

   $$\frac{-1}{n+1} \leq \frac{\cos(n)}{n+1} \leq \frac{1}{n+1}.$$

   Or $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{-1}{n+1} = 0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n+1} = 0$. D'après le théorème des gendarmes, $(u_n)$ converge et :

   $$\lim_{n\to+\infty} u_n = 0.$$
5. 5

   Convergence d'une suite récurrente

   Moyen

   On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$.

   1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leq u_n \leq 2$.
   2. Étudier le sens de variation de $(u_n)$.
   3. En déduire que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
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   Pour la limite : la suite converge vers un réel $\ell$ vérifiant $\ell = \sqrt{\ell + 2}$ (point fixe), avec $\ell\geq 0$.

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6. 6

   Inégalité de Bernoulli et limite de $q^n$

   Moyen
   1. Démontrer par récurrence l'inégalité de Bernoulli : pour tout réel $a\geq 0$ et tout entier naturel $n$, $(1+a)^n \geq 1 + na$.
   2. En déduire que, pour tout réel $q > 1$, la suite $(q^n)$ tend vers $+\infty$.
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   Pour la question 2, poser $q = 1 + a$ avec $a > 0$, puis utiliser un théorème de comparaison.

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7. 7

   Limite d'une suite géométrique

   Moyen

   On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = (0{,}95)^n$.

   1. Déterminer la limite de $(u_n)$.
   2. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n < 10^{-2}$.
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   Comme $0 < 0{,}95 < 1$, on peut appliquer le logarithme népérien à l'inéquation $(0{,}95)^n < 10^{-2}$ en faisant attention au changement de sens (division par $\ln(0{,}95) < 0$).

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier naturel $n\geq 1$ par :

   $$u_n = 2 - \frac{1}{n} \qquad\text{et}\qquad v_n = 2 + \frac{1}{n^2}.$$

   1. Démontrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
   2. En déduire qu'elles convergent vers une même limite, que l'on précisera.
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$, $u_1 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ :

   $$u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n.$$

   Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

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