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I. Succession d'épreuves indépendantes

Une expérience aléatoire se déroule souvent en plusieurs étapes : plusieurs lancers, plusieurs tirages, plusieurs contrôles. Lorsque les étapes n'ont aucune influence les unes sur les autres, le calcul des probabilités se réduit à une multiplication.

DéfinitionLe modèle

Une succession de $n$ épreuves indépendantes est une expérience dont chaque issue est un $n$ -uplet, formé d'une issue par épreuve.

La probabilité d'une telle issue est le produit des probabilités de ses composantes. Sur un arbre, cela revient à multiplier les probabilités portées par les branches d'un chemin.

Exemple

Une urne contient $3$ boules rouges et $7$ boules vertes. On effectue trois tirages avec remise, ce qui rend les épreuves indépendantes puisque la composition de l'urne ne change pas.

La probabilité d'obtenir rouge, puis verte, puis rouge vaut

0{,}3 \times 0{,}7 \times 0{,}3 = 0{,}063

Attention

Sans remise, les épreuves ne sont plus indépendantes : la composition de l'urne change à chaque tirage, et les probabilités des branches en dépendent. L'arbre reste utilisable, mais les probabilités qu'il porte sont alors conditionnelles.

II. Épreuve et schéma de Bernoulli

DéfinitionÉpreuve et loi de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues, appelées succès et échec. La probabilité du succès se note $p$ .

La variable aléatoire qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d'échec suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ . Son espérance vaut $p$ et sa variance $p(1-p)$ .

DéfinitionSchéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune de probabilité de succès $p$ .

MéthodeReconnaître un schéma de Bernoulli

Quatre conditions doivent être réunies, et il faut les vérifier une à une dans la rédaction.

L'expérience se répète un nombre fixé de fois.

Chaque répétition n'a que deux issues possibles, une fois choisi ce qui compte comme succès.

Les répétitions sont indépendantes.

La probabilité du succès reste la même à chaque répétition.

III. La loi binomiale

DéfinitionLoi binomiale

Dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ , la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , notée $\mathcal{B}(n\,;p)$ .

Elle prend les valeurs entières de $0$ à $n$ .

ThéorèmeExpression de la loi

Si $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n\,;p)$ , alors pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$ :

P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}

Démonstration : Probabilité de

k

succès

Représentons le schéma par un arbre à $n$ niveaux, chaque nœud donnant une branche « succès » de probabilité $p$ et une branche « échec » de probabilité $1-p$ .

Un chemin comportant exactement $k$ succès a pour probabilité le produit des probabilités de ses branches, soit

p^k\,(1-p)^{n-k}

cette valeur ne dépendant pas de l'ordre dans lequel les succès apparaissent.

Il reste à compter ces chemins. Un chemin est entièrement déterminé par la liste des rangs auxquels se produisent les succès, c'est-à-dire par une partie à $k$ éléments de l'ensemble des $n$ rangs. Il y en a donc $\binom{n}{k}$ .

Les chemins étant deux à deux incompatibles, le principe additif donne le résultat annoncé.

Exemple

Une pièce équilibrée est lancée $10$ fois. Le nombre $X$ de « pile » suit la loi $\mathcal{B}(10\,;0{,}5)$ , et

P(X=4)=\binom{10}{4}\times 0{,}5^4 \times 0{,}5^{6}=210 \times 0{,}5^{10} \approx 0{,}205

PropriétéProbabilités cumulées

Les questions portent souvent sur des cumuls, qui se ramènent tous à des sommes :

P(X \leqslant k)=\sum_{i=0}^{k} P(X=i) \qquad P(X>k)=1-P(X \leqslant k)

P(k \leqslant X \leqslant k')=P(X \leqslant k')-P(X \leqslant k-1)

La calculatrice et Python fournissent directement ces valeurs cumulées.

ExempleUn problème de seuil

Une compagnie vend $u$ billets pour un avion de $200$ places, chaque passager se présentant avec la probabilité $0{,}9$ . Le nombre de passagers présents suit la loi $\mathcal{B}(u\,;0{,}9)$ .

Chercher le plus grand nombre de billets vendus tel que le risque de surréservation reste inférieur à $5\,\%$ revient à chercher le plus grand $u$ vérifiant $P(X>200) \leqslant 0{,}05$ .

from math import comb

def p_sup(u, n, p):
    # probabilite d'avoir plus de n succes parmi u epreuves
    cumul = 0
    for k in range(n + 1):
        cumul = cumul + comb(u, k) * p ** k * (1 - p) ** (u - k)
    return 1 - cumul

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9 exercices corrigés sur ce chapitre.

Succession d'épreuves indépendantes et schéma de Bernoulli

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Succession d'épreuves indépendantes

II. Épreuve et schéma de Bernoulli

III. La loi binomiale