Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   On lance deux fois de suite une pièce équilibrée. On note $P$ le résultat « Pile » et $F$ le résultat « Face ».

   1. Justifier qu'il s'agit d'une succession de deux épreuves indépendantes.
   2. Représenter la situation par un arbre pondéré.
   3. Déterminer la probabilité d'obtenir deux fois « Pile ».
   4. Déterminer la probabilité d'obtenir exactement une fois « Pile ».
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   Les deux lancers n'ont aucune influence l'un sur l'autre : la probabilité d'une issue de la succession est le produit des probabilités le long du chemin de l'arbre.

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   1. Le résultat du second lancer ne dépend pas du premier : les deux épreuves sont indépendantes. Chaque lancer a deux issues $P$ et $F$ de probabilité $\tfrac12$.

   2. L'arbre comporte, à partir de la racine, deux branches $P$ et $F$ (probabilité $\tfrac12$ chacune) ; de chaque nœud repartent à nouveau deux branches $P$ et $F$ de probabilité $\tfrac12$. Les issues sont $PP,\ PF,\ FP,\ FF$.

   3. Par indépendance, $P(PP)=\tfrac12\times\tfrac12=\tfrac14$.

   4. « Exactement une fois Pile » correspond aux issues $PF$ et $FP$ :

   $$P=\tfrac12\times\tfrac12+\tfrac12\times\tfrac12=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12.$$
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Une urne contient $3$ boules blanches et $2$ boules noires. On tire successivement $3$ boules avec remise, en notant à chaque tirage la couleur obtenue.

   1. Pourquoi les trois tirages forment-ils une succession d'épreuves indépendantes ?
   2. On appelle « succès » l'obtention d'une boule blanche. Quelle est la probabilité $p$ d'un succès à un tirage ?
   3. Calculer la probabilité d'obtenir trois boules blanches.
   4. Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux boules blanches.
   Voir un indice

   Avec remise, la composition de l'urne est la même à chaque tirage : $p=\tfrac35$. Pour « exactement deux blanches », dénombrer les positions possibles de la boule noire.

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   1. Après chaque tirage, on remet la boule : l'urne est identique, donc les tirages sont indépendants et de même loi.

   2. Il y a $3$ boules blanches sur $5$, donc $p=\dfrac{3}{5}$. La probabilité d'une noire est $1-p=\dfrac{2}{5}$.

   3. $P(\text{BBB})=\left(\tfrac35\right)^3=\dfrac{27}{125}$.

   4. Deux blanches et une noire ; la noire peut occuper la $1^{\text{re}}$, $2^{\text{e}}$ ou $3^{\text{e}}$ position (3 cas), chacun de probabilité $\left(\tfrac35\right)^2\times\tfrac25=\tfrac{9}{25}\times\tfrac25=\dfrac{18}{125}$. Donc

   $$P=3\times\dfrac{18}{125}=\dfrac{54}{125}.$$
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p=0{,}3$.

   1. Donner la loi de probabilité de $X$ sous forme de tableau.
   2. Calculer l'espérance $E(X)$.
   3. Calculer la variance $V(X)$ puis l'écart type $\sigma(X)$.
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   Pour une loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $E(X)=p$ et $V(X)=p(1-p)$.

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   1. $X$ prend la valeur $1$ (succès) avec probabilité $p=0{,}3$ et la valeur $0$ avec probabilité $0{,}7$ :

   $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x_i & 0 & 1\\\hline P(X=x_i) & 0{,}7 & 0{,}3\\\hline \end{array}$$

   2. $E(X)=0\times0{,}7+1\times0{,}3=0{,}3\;(=p)$.

   3. $V(X)=p(1-p)=0{,}3\times0{,}7=0{,}21$. L'écart type vaut $\sigma(X)=\sqrt{0{,}21}\approx0{,}458$.

4. 4

   Exercice 4

   Facile

   On répète $n=5$ fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est $p=0{,}4$. On note $X$ le nombre de succès.

   1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
   2. Rappeler la formule donnant $P(X=k)$.
   3. Calculer $P(X=2)$.
   4. Calculer $P(X=0)$ puis $P(X\geq 1)$.
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   $X$ suit $\mathcal{B}(5\,;0{,}4)$ et $P(X=k)=\binom{5}{k}p^k(1-p)^{5-k}$. Pour $P(X\geq1)$, utiliser l'événement contraire.

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   1. On répète $n=5$ fois, de manière indépendante, la même épreuve de Bernoulli avec succès de probabilité $p=0{,}4$ ; $X$ compte les succès, donc $X\sim\mathcal{B}(5\,;0{,}4)$.

   2. $P(X=k)=\dbinom{5}{k}(0{,}4)^k(0{,}6)^{5-k}$ pour $k\in\{0,1,2,3,4,5\}$.

   3. $\binom{5}{2}=10$, donc

   $$P(X=2)=10\times(0{,}4)^2\times(0{,}6)^3=10\times0{,}16\times0{,}216=0{,}3456.$$

   4. $P(X=0)=(0{,}6)^5=0{,}07776$. Par l'événement contraire,

   $$P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0{,}07776=0{,}92224.$$
5. 5

   Loi binomiale et composants défectueux

   Moyen

   Une entreprise fabrique des composants électroniques. Chaque composant est défectueux avec la probabilité $0{,}05$, indépendamment des autres. On prélève un lot de $20$ composants et on note $X$ le nombre de composants défectueux.

   1. Préciser la loi de $X$.
   2. Calculer la probabilité qu'aucun composant ne soit défectueux (arrondir à $10^{-3}$).
   3. Calculer la probabilité qu'il y ait au plus un composant défectueux.
   4. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux composants défectueux.
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   $X\sim\mathcal{B}(20\,;0{,}05)$. « Au plus un » $=P(X=0)+P(X=1)$ ; « au moins deux » est l'événement contraire de « au plus un ».

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6. 6

   QCM et loi binomiale

   Moyen

   Un questionnaire à choix multiples comporte $10$ questions indépendantes. Chaque question propose $4$ réponses dont une seule est correcte. Un candidat répond au hasard à chaque question. On note $X$ le nombre de bonnes réponses.

   1. Déterminer la loi de $X$.
   2. Calculer la probabilité que le candidat obtienne exactement $3$ bonnes réponses (arrondir à $10^{-3}$).
   3. La note est le nombre de bonnes réponses. Le candidat est reçu s'il obtient au moins $5$ bonnes réponses. Calculer, à l'aide de la calculatrice, la probabilité qu'il soit reçu.
   4. Interpréter le résultat.
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   $X\sim\mathcal{B}(10\,;0{,}25)$. Pour la question 3, $P(X\geq5)=1-P(X\leq4)$.

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7. 7

   Surréservation et loi binomiale

   Moyen

   Une compagnie aérienne exploite un avion de $200$ places. Par expérience, chaque passager ayant réservé se présente à l'embarquement avec la probabilité $0{,}90$, indépendamment des autres. Pour limiter les pertes dues aux absences, la compagnie vend $210$ billets. On note $X$ le nombre de passagers, parmi les $210$, qui se présentent.

   1. Déterminer la loi de $X$ ainsi que son espérance.
   2. On dit qu'il y a « surréservation » lorsque plus de $200$ passagers se présentent. Exprimer cet événement à l'aide de $X$.
   3. À l'aide de la calculatrice, on obtient $P(X\leq200)\approx0{,}998$. En déduire la probabilité qu'un passager au moins ne puisse pas embarquer.
   4. Commenter le choix de la compagnie.
   Voir un indice

   $X\sim\mathcal{B}(210\,;0{,}90)$, donc $E(X)=np$. La surréservation correspond à $X\geq201$, événement contraire de $X\leq200$.

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8. 8

   Loi géométrique

   Difficile

   On répète de façon indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre $p\in\,]0\,;1[$. On note $Y$ le rang de la première apparition d'un succès (ainsi $Y=k$ signifie : $k-1$ échecs puis un succès).

   1. Montrer que pour tout entier $k\geq1$, $P(Y=k)=(1-p)^{k-1}p$.
   2. Vérifier que $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}P(Y=k)=1$.
   3. On admet que $E(Y)=\dfrac1p$. Pour un dé équilibré, on cherche l'apparition du premier « $6$ ». Interpréter et calculer $E(Y)$.
   4. Calculer $P(Y\leq 3)$ dans ce cas (dé équilibré), arrondi à $10^{-3}$.
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9. 9

   Approximation de Poisson

   Difficile

   On considère $X\sim\mathcal{B}(n\,;p)$ avec $n$ « grand » et $p$ « petit », le produit $\lambda=np$ restant modéré. On admet que $X$ peut alors être approchée par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$, pour laquelle $P(X=k)\approx e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$.

   Une hotline reçoit en moyenne $\lambda=4$ appels par minute. On modélise le nombre $X$ d'appels reçus en une minute par une loi de Poisson de paramètre $4$.

   1. Calculer $P(X=0)$ (arrondir à $10^{-3}$).
   2. Calculer $P(X=4)$.
   3. Calculer $P(X\leq2)$.
   4. Rappeler l'espérance d'une telle loi et l'interpréter ici.
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