Ascension Maths

I. Linéarité de l'espérance

Calculer l'espérance d'une variable compliquée à partir de sa loi peut demander de longs calculs. La décomposer en somme de variables simples est presque toujours plus rapide, et c'est l'idée centrale du chapitre.

ThéorèmeLinéarité

Pour deux variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur le même univers, et pour tout réel $a$ :

E(X+Y)=E(X)+E(Y) \qquad E(aX)=a\,E(X)

La première égalité ne demande aucune hypothèse d'indépendance, ce qui en fait un outil très souple.

Exemple

On lance deux dés équilibrés et on note $S$ la somme obtenue. Plutôt que d'établir la loi de $S$ , qui compte onze valeurs, on écrit $S=X_1+X_2$ où $X_i$ est le résultat du dé numéro $i$ .

Chaque dé a pour espérance $3{,}5$ , donc

E(S)=3{,}5+3{,}5=7

II. Variance d'une somme

ThéorèmeAdditivité dans le cas indépendant

Pour deux variables aléatoires indépendantes $X$ et $Y$ , et pour tout réel $a$ :

V(X+Y)=V(X)+V(Y) \qquad V(aX)=a^2\,V(X)

Attention

L'hypothèse d'indépendance est indispensable pour la variance, alors qu'elle ne l'était pas pour l'espérance. Le facteur $a^2$ dans la seconde égalité s'explique par le fait que la variance s'exprime dans le carré de l'unité de départ.

Remarque

Pour l'écart type, il n'existe pas de formule d'addition : il faut passer par les variances, les additionner, puis reprendre la racine carrée à la fin.

III. Espérance et variance de la loi binomiale

ThéorèmeCaractéristiques de la loi binomiale

Si la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ , alors

E(X)=np \qquad V(X)=np(1-p) \qquad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}

Démonstration : Espérance et variance de la loi binomiale

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ consiste en $n$ épreuves identiques et indépendantes. Notons $X_i$ la variable qui vaut $1$ si la $i$ -ième épreuve est un succès, et $0$ sinon : chaque $X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ .

Le nombre total de succès s'écrit alors

X = X_1+X_2+\cdots+X_n

Chaque variable $X_i$ a pour espérance $p$ et pour variance $p(1-p)$ . La linéarité de l'espérance donne

E(X)=E(X_1)+\cdots+E(X_n)=np

Les épreuves étant indépendantes, les variables $X_i$ le sont aussi, et les variances s'additionnent :

V(X)=V(X_1)+\cdots+V(X_n)=np(1-p)

Exemple

Pour $100$ lancers d'une pièce équilibrée, le nombre de « pile » suit la loi $\mathcal{B}(100\,;0{,}5)$ , d'espérance $50$ et d'écart type

\sqrt{100 \times 0{,}5 \times 0{,}5}=5

Obtenir entre $40$ et $60$ « pile », soit à deux écarts types de la moyenne, est donc le comportement attendu.

IV. Somme et moyenne d'un échantillon

DéfinitionÉchantillon

Un échantillon de taille $n$ d'une loi de probabilité est une liste $(X_1,\ldots,X_n)$ de variables aléatoires indépendantes suivant toutes cette loi.

On note $S_n = X_1+\cdots+X_n$ leur somme, et $M_n = \dfrac{S_n}{n}$ leur moyenne.

ThéorèmeCaractéristiques

Si la loi commune a pour espérance $\mu$ et pour écart type $\sigma$ , alors

E(S_n)=n\mu \qquad V(S_n)=n\sigma^2 \qquad \sigma(S_n)=\sigma\sqrt{n}

E(M_n)=\mu \qquad V(M_n)=\frac{\sigma^2}{n} \qquad \sigma(M_n)=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Remarque

Ces formules disent l'essentiel. La moyenne d'un échantillon a la même espérance que la loi de départ : elle vise juste. Son écart type, en revanche, diminue en $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ : elle vise d'autant plus précisément que l'échantillon est grand.

C'est exactement ce qui justifie qu'un sondage sur mille personnes donne une estimation utilisable, et c'est le point de départ du chapitre sur la concentration.

Exemple

Un échantillon de taille $400$ d'une loi d'espérance $\mu = 20$ et d'écart type $\sigma = 6$ a une moyenne $M_{400}$ d'espérance $20$ et d'écart type

\frac{6}{\sqrt{400}}=\frac{6}{20}=0{,}3

Multiplier la taille de l'échantillon par $4$ divise cet écart type par $2$ .

Sommes de variables aléatoires

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Linéarité de l'espérance

II. Variance d'une somme

III. Espérance et variance de la loi binomiale

IV. Somme et moyenne d'un échantillon