Sommes de variables aléatoires

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires telles que $E(X)=3$ et $E(Y)=-2$.

   1. Calculer $E(X+Y)$.
   2. Calculer $E(2X)$ et $E(5Y)$.
   3. Calculer $E(2X+5Y)$.
   4. Calculer $E(4X-3Y+1)$.
   Voir un indice

   Utiliser la linéarité de l'espérance : $E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c$.

   Voir la correction

   1. $E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3+(-2)=1$.

   2. $E(2X)=2E(X)=6$ et $E(5Y)=5E(Y)=-10$.

   3. $E(2X+5Y)=2E(X)+5E(Y)=6+(-10)=-4$.

   4. $E(4X-3Y+1)=4E(X)-3E(Y)+1=12-(-6)+1=12+6+1=19$.

2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $V(X)=4$ et $V(Y)=9$.

   1. Calculer $V(X+Y)$.
   2. Calculer $V(3X)$.
   3. Calculer $V(3X+2Y)$.
   4. En déduire l'écart type de $3X+2Y$.
   Voir un indice

   Pour des variables indépendantes, $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$, et $V(aX)=a^2V(X)$. L'écart type est la racine carrée de la variance.

   Voir la correction

   1. Par indépendance, $V(X+Y)=V(X)+V(Y)=4+9=13$.

   2. $V(3X)=3^2V(X)=9\times4=36$.

   3. Par indépendance, $V(3X+2Y)=V(3X)+V(2Y)=9V(X)+4V(Y)=36+36=72$.

   4. $\sigma(3X+2Y)=\sqrt{72}=6\sqrt2\approx8{,}49$.

3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(50\,;0{,}2)$.

   1. Calculer l'espérance $E(X)$.
   2. Calculer la variance $V(X)$.
   3. Calculer l'écart type $\sigma(X)$ (arrondir à $10^{-2}$).
   Voir un indice

   Pour $\mathcal{B}(n\,;p)$ : $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$ et $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$.

   Voir la correction

   1. $E(X)=np=50\times0{,}2=10$.

   2. $V(X)=np(1-p)=50\times0{,}2\times0{,}8=8$.

   3. $\sigma(X)=\sqrt8=2\sqrt2\approx2{,}83$.

4. 4

   Exercice 4

   Facile

   On lance un dé équilibré à six faces. On note $X$ le numéro obtenu. On rappelle que $E(X)=3{,}5$ et $V(X)=\dfrac{35}{12}$.

   On lance ce dé deux fois de suite de manière indépendante, en notant $X_1$ et $X_2$ les deux résultats, puis on pose $S=X_1+X_2$.

   1. Que valent $E(X_1)$ et $E(X_2)$ ? En déduire $E(S)$.
   2. Que valent $V(X_1)$ et $V(X_2)$ ? En déduire $V(S)$.
   3. Calculer l'écart type de $S$ (arrondir à $10^{-2}$).
   Voir un indice

   $X_1$ et $X_2$ ont la même loi que $X$. Comme les lancers sont indépendants, on peut additionner les variances.

   Voir la correction

   1. $X_1$ et $X_2$ suivent la loi de $X$, donc $E(X_1)=E(X_2)=3{,}5$. Par linéarité, $E(S)=E(X_1)+E(X_2)=3{,}5+3{,}5=7$.

   2. De même $V(X_1)=V(X_2)=\dfrac{35}{12}$. Par indépendance,

   $$V(S)=V(X_1)+V(X_2)=\frac{35}{12}+\frac{35}{12}=\frac{70}{12}=\frac{35}{6}\approx5{,}83.$$

   3. $\sigma(S)=\sqrt{\dfrac{35}{6}}\approx2{,}42$.
5. 5

   Paramètres d'une loi binomiale

   Moyen

   Une variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$. On sait que $E(X)=6$ et $V(X)=4{,}2$.

   1. Écrire deux équations reliant $n$ et $p$.
   2. En déduire la valeur de $p$, puis celle de $n$.
   3. Vérifier les résultats en recalculant $E(X)$ et $V(X)$.
   Voir un indice

   $np=6$ et $np(1-p)=4{,}2$. Diviser la deuxième relation par la première pour trouver $1-p$.

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6. 6

   Somme de variables de Bernoulli

   Moyen

   Un jeu consiste à lancer une pièce déséquilibrée pour laquelle la probabilité d'obtenir « Pile » est $p=0{,}4$. À chaque « Pile » le joueur gagne $1$ point, à chaque « Face » il gagne $0$ point. On effectue $n=100$ lancers indépendants et on note $S_{100}$ le nombre total de points obtenus.

   Pour chaque lancer $i$, on note $X_i$ la variable de Bernoulli valant $1$ si le $i$-ème lancer donne « Pile », $0$ sinon.

   1. Exprimer $S_{100}$ à l'aide des $X_i$. Quelle loi suit $S_{100}$ ?
   2. Calculer $E(X_i)$ et $V(X_i)$.
   3. En déduire $E(S_{100})$ et $V(S_{100})$ par les propriétés des sommes.
   4. On pose $M_{100}=\dfrac{S_{100}}{100}$ la proportion de « Pile ». Calculer $E(M_{100})$ et $V(M_{100})$.
   Voir un indice

   $S_{100}=X_1+\dots+X_{100}$ est une somme de Bernoulli i.i.d., donc suit $\mathcal{B}(100\,;0{,}4)$. Pour $M_n=\tfrac{S_n}{n}$ : $E(M_n)=\tfrac{E(S_n)}{n}$ et $V(M_n)=\tfrac{V(S_n)}{n^2}$.

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7. 7

   Moyenne d'un échantillon i.i.d

   Moyen

   Un échantillon $(X_1,X_2,\dots,X_n)$ est constitué de $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi (i.i.d.), d'espérance $\mu=E(X_1)=12$ et d'écart type $\sigma=\sqrt{V(X_1)}$ avec $V(X_1)=9$. On pose $M_n=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_i$.

   1. Exprimer $E(M_n)$ et $V(M_n)$ en fonction de $\mu$, $V(X_1)$ et $n$.
   2. Calculer $E(M_n)$ et $V(M_n)$ pour $n=100$.
   3. Donner l'écart type de $M_{100}$.
   4. Comment évolue l'écart type de $M_n$ lorsque $n$ augmente ? Interpréter.
   Voir un indice

   Pour un échantillon i.i.d. : $E(M_n)=\mu$ et $V(M_n)=\dfrac{V(X_1)}{n}$, donc $\sigma(M_n)=\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$.

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8. 8

   Espérance d'un produit

   Difficile

   Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes. On admet que dans ce cas $E(XY)=E(X)E(Y)$.

   On lance deux dés équilibrés à six faces de manière indépendante ; $X$ et $Y$ désignent les deux résultats. On pose $P=XY$ (le produit des deux faces).

   1. Calculer $E(X)$ et $E(Y)$.
   2. En déduire $E(P)$.
   3. On rappelle la formule $V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2$. Calculer $E(X^2)$ pour un dé, puis retrouver $V(X)=\dfrac{35}{12}$.
   4. L'égalité $E(XY)=E(X)E(Y)$ reste-t-elle vraie si $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes ? On prendra l'exemple $Y=X$.
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9. 9

   Représenter une variable comme une somme

   Difficile

   Dans une classe, $n=30$ élèves déposent chacun leur téléphone (identique de l'extérieur) dans un panier. On les redistribue ensuite au hasard, un par élève. On note $Z$ le nombre d'élèves qui récupèrent leur propre téléphone.

   Pour chaque élève $i$, on introduit la variable $X_i$ valant $1$ si l'élève $i$ récupère son propre téléphone, $0$ sinon.

   1. Justifier que $P(X_i=1)=\dfrac{1}{30}$, puis donner $E(X_i)$.
   2. Exprimer $Z$ en fonction des $X_i$.
   3. À l'aide de la linéarité de l'espérance, calculer $E(Z)$.
   4. Ce résultat dépend-il de $n$ ? Que vaut $E(Z)$ pour une classe de $n$ élèves quelconque ?
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