I. Représentation paramétrique d'une droite
L'espace est rapporté à un repère orthonormé. Une droite ne se décrit pas par une seule équation, comme dans le plan, mais par un système qui donne les coordonnées de ses points en fonction d'un paramètre.
La droite passant par et de vecteur directeur est l'ensemble des points tels que
Chaque valeur du paramètre donne un point de la droite, et chaque point correspond à une seule valeur de .
Les termes constants donnent les coordonnées d'un point de la droite, celui obtenu pour .
Les coefficients du paramètre donnent les coordonnées d'un vecteur directeur.
Une même droite admet une infinité de représentations paramétriques, selon le point et le vecteur directeur choisis. Deux systèmes différents peuvent donc décrire la même droite.
La droite passant par et dirigée par a pour représentation paramétrique
La deuxième ligne ne contient pas le paramètre : tous les points de cette droite ont la même ordonnée.
Pour savoir si un point appartient à une droite donnée par une représentation paramétrique, on cherche la valeur du paramètre qui convient sur la première ligne, puis on vérifie qu'elle convient aussi sur les deux autres. Si une seule ligne résiste, le point n'appartient pas à la droite.
II. Équation cartésienne d'un plan
Tout plan de l'espace admet une équation de la forme
où les réels , , ne sont pas tous nuls, et le vecteur est alors normal à ce plan.
Réciproquement, une telle équation décrit toujours un plan.
Démonstration : Équation du plan passant par et normal à
On considère un point et un vecteur non nul . Un point appartient au plan passant par et normal à si et seulement si les vecteurs et sont orthogonaux, c'est-à-dire si et seulement si leur produit scalaire est nul :
En développant et en posant , cette condition s'écrit
qui est bien la forme annoncée.
Le plan passant par et de vecteur normal a pour équation
Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Une droite est parallèle à un plan si et seulement si son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal du plan.
Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan.
III. Intersections
On reporte les expressions de , et données par la représentation paramétrique dans l'équation du plan. On obtient une équation d'inconnue , et trois issues sont possibles.
Une solution unique : la droite coupe le plan en un point, dont on obtient les coordonnées en remplaçant par sa valeur.
Aucune solution : la droite est parallèle au plan, sans être incluse dedans.
Une infinité de solutions : la droite est contenue dans le plan.
Cherchons l'intersection de la droite avec le plan d'équation .
En reportant :
Donc , ce qui donne le point d'intersection de coordonnées .
L'intersection de deux plans non parallèles est une droite. Pour en obtenir une représentation paramétrique, on résout le système formé par les deux équations : deux équations pour trois inconnues laissent un paramètre libre, que l'on nomme .
La méthode combine les deux outils du chapitre.
- Écrire la représentation paramétrique de la droite passant par le point et dirigée par le vecteur normal du plan.
- Reporter dans l'équation du plan pour trouver la valeur du paramètre.
- En déduire les coordonnées du projeté , puis la distance si elle est demandée.
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