Chapitres de Terminale

Représentations paramétriques et équations cartésiennes

1
Exercice 1
Facile
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$ . Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par le point $A(1\,;2\,;-1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2\,;-1\,;3)$ .
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Un point $M(x\,;y\,;z)$ appartient à $d$ si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que $\vec{AM}=t\,\vec{u}$ .
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Le point $M(x\,;y\,;z)$ appartient à $d$ si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que $\vec{AM}=t\,\vec{u}$ , c'est-à-dire :
$\begin{cases} x-1 = 2t \\ y-2 = -t \\ z+1 = 3t \end{cases}$
On en déduit une représentation paramétrique de $d$ :
$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 3t \end{cases}, \quad t\in\mathbb{R}.$
2
Exercice 2
Facile
Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par le point $A(1\,;-2\,;3)$ et admettant $\vec{n}(2\,;1\,;-1)$ pour vecteur normal. Préciser ensuite un autre vecteur normal à $\mathcal{P}$ .
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Un point $M$ appartient à $\mathcal{P}$ si et seulement si $\vec{AM}\cdot\vec{n}=0$ . Tout vecteur colinéaire à $\vec{n}$ est aussi normal à $\mathcal{P}$ .
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$M(x\,;y\,;z)\in\mathcal{P}$ si et seulement si $\vec{AM}\cdot\vec{n}=0$ :
$2(x-1) + 1(y+2) - 1(z-3) = 0.$
En développant : $2x - 2 + y + 2 - z + 3 = 0$ , soit :
$2x + y - z + 3 = 0.$
Le vecteur $\vec{n}(2\,;1\,;-1)$ étant normal à $\mathcal{P}$ , tout vecteur colinéaire l'est aussi, par exemple $2\vec{n}=(4\,;2\,;-2)$ .
3
Exercice 3
Facile
On considère la droite $d$ de représentation paramétrique :
$\begin{cases} x = 3 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 4t \end{cases}, \quad t\in\mathbb{R}.$
Donner un point de $d$ et un vecteur directeur de $d$ . Le point $B(1\,;5\,;8)$ appartient-il à $d$ ? Et le point $C(2\,;4\,;3)$ ?
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Un point s'obtient en choisissant une valeur de $t$ (par exemple $t=0$ ) ; le vecteur directeur se lit sur les coefficients de $t$ . Pour tester un point, on cherche une valeur de $t$ compatible avec les trois équations.
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Pour $t=0$ on obtient le point $A(3\,;1\,;0)$ de $d$ . Les coefficients de $t$ donnent le vecteur directeur $\vec{u}(-1\,;2\,;4)$ .

Point $B(1\,;5\,;8)$ : la première équation donne $1 = 3-t$ , donc $t=2$ . On vérifie : $y = 1+2\times2 = 5$ (ok) et $z = 4\times2 = 8$ (ok). Les trois équations sont satisfaites pour $t=2$ , donc $B\in d$ .

Point $C(2\,;4\,;3)$ : la première équation donne $2 = 3-t$ , donc $t=1$ . Mais alors $y = 1+2\times1 = 3 \neq 4$ . Le système est incompatible, donc $C\notin d$ .
4
Exercice 4
Facile
On considère les droites :
$d_1 : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -t \\ z = 2 + 3t \end{cases} \qquad d_2 : \begin{cases} x = -4s \\ y = 2 + 2s \\ z = -6s \end{cases}$
Montrer que $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.
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Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
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Un vecteur directeur de $d_1$ est $\vec{u_1}(2\,;-1\,;3)$ et un vecteur directeur de $d_2$ est $\vec{u_2}(-4\,;2\,;-6)$ . On remarque que :
$\vec{u_2} = -2\,\vec{u_1} \quad\text{car}\quad (-4\,;2\,;-6) = -2\times(2\,;-1\,;3).$
Les vecteurs directeurs sont colinéaires, donc les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.
5
Distance d'un point à un plan
Moyen
L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y + z - 6 = 0$ et le point $A(1\,;1\,;1)$ . Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $\mathcal{P}$ , puis calculer la distance de $A$ au plan $\mathcal{P}$ .
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$H$ est le point d'intersection de $\mathcal{P}$ et de la droite passant par $A$ et de vecteur directeur un vecteur normal à $\mathcal{P}$ .
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6
Intersection d'une droite et d'un plan
Moyen
On considère la droite $d$ et le plan $\mathcal{P}$ définis par :
$d : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 2 - t \end{cases} \qquad \mathcal{P} : 2x - y + z - 3 = 0.$
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $d$ et $\mathcal{P}$ .
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On remplace $x$ , $y$ , $z$ par leurs expressions en fonction de $t$ dans l'équation du plan, puis on résout en $t$ .
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7
Quatre points coplanaires
Moyen
On donne les quatre points $A(1\,;0\,;2)$ , $B(2\,;1\,;2)$ , $C(3\,;0\,;3)$ et $D(4\,;1\,;3)$ . Démontrer que ces quatre points sont coplanaires.
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Il suffit de montrer que $\vec{AD}$ s'écrit comme combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ , autrement dit que le système $\vec{AD}=a\,\vec{AB}+b\,\vec{AC}$ admet une solution.
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8
Exercice 8
Difficile
On considère les deux plans :
$\mathcal{P}_1 : x + y + z - 1 = 0 \qquad \mathcal{P}_2 : x - y + 2z - 2 = 0.$
Démontrer que $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants et déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection.
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9
Exercice 9
Difficile
Dans un repère orthonormé, on considère la sphère $\mathcal{S}$ de centre $\Omega(1\,;2\,;-1)$ et de rayon $3$ , ainsi que la droite $d$ de représentation paramétrique :
$\begin{cases} x = 1 \\ y = t \\ z = -1 \end{cases}, \quad t\in\mathbb{R}.$
Donner une équation de $\mathcal{S}$ , puis déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{S}$ et de $d$ .
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Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Distance d'un point à un plan

Intersection d'une droite et d'un plan

Quatre points coplanaires

Exercice 8

Exercice 9