Ascension Maths

I. Notion de primitive

Jusqu'ici, le calcul allait de la fonction vers sa dérivée. Ce chapitre parcourt le chemin inverse : connaissant la vitesse de variation, retrouver la fonction elle-même.

DéfinitionPrimitive

On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ . Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que

F'=f

ThéorèmeExistence et unicité à une constante près

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. Ce résultat est admis.

Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante. Autrement dit, si $F$ est une primitive de $f$ , les primitives de $f$ sont exactement les fonctions $x \mapsto F(x)+C$ , où $C$ est un réel.

Démonstration : Deux primitives diffèrent d'une constante

On considère deux primitives $F$ et $G$ d'une même fonction $f$ sur un intervalle $I$ , et on pose $H=F-G$ .

La fonction $H$ est dérivable sur $I$ , et pour tout $x$ de $I$ :

H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0

Une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle y est constante. Il existe donc un réel $C$ tel que $H = C$ , c'est-à-dire $F = G + C$ .

Attention

Le résultat vaut sur un intervalle. Sur une réunion de deux intervalles disjoints, la constante peut différer d'un morceau à l'autre, ce qui explique la prudence des énoncés sur les ensembles de définition.

MéthodePrimitive vérifiant une condition

Une condition du type « la primitive qui vaut $3$ en $0$ » sélectionne une unique fonction parmi toutes les primitives.

La démarche consiste à déterminer d'abord la forme générale $F(x)+C$ , puis à écrire l'égalité imposée pour calculer la valeur de $C$ .

II. Primitives de référence

PropriétéFonctions usuelles

fonction $f(x)$	une primitive $F(x)$	sur
$k$	$kx$	$\mathbb{R}$
$x^n$ , $n \geqslant 0$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x^2}$	$-\dfrac{1}{x}$	$]0\,;+\infty[$ ou $]-\infty\,;0[$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$	$]0\,;+\infty[$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln x$	$]0\,;+\infty[$
$\text{e}^{x}$	$\text{e}^{x}$	$\mathbb{R}$
$\sin x$	$-\cos x$	$\mathbb{R}$
$\cos x$	$\sin x$	$\mathbb{R}$

PropriétéFormes composées

Pour une fonction $u$ dérivable :

fonction	une primitive	condition
$u'u^n$ , $n \geqslant 0$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln u$	$u>0$
$u'\,\text{e}^{u}$	$\text{e}^{u}$
$\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$	$2\sqrt{u}$	$u>0$

Ces formules se lisent à l'envers de la dérivation des composées : reconnaître le facteur $u'$ est la clé du calcul.

Exemple

Cherchons une primitive de la fonction définie par $f(x)=2x\,\text{e}^{x^2}$ .

En posant $u(x)=x^2$ , on a $u'(x)=2x$ , et l'expression est exactement de la forme $u'\,\text{e}^{u}$ . Une primitive est donc

F(x)=\text{e}^{x^2}

La vérification est immédiate : en dérivant $F$ , on retrouve bien $f$ .

MéthodeAjuster un coefficient

Lorsque le facteur $u'$ n'apparaît pas avec le bon coefficient, il suffit de compenser par une constante.

Pour la fonction définie par $f(x)=x\,\text{e}^{x^2}$ , il manque un facteur $2$ . Une primitive est donc $F(x)=\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{x^2}$ , ce qu'une dérivation de contrôle confirme.

III. Équations différentielles

DéfinitionÉquation différentielle

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, et qui relie cette fonction à ses dérivées.

L'équation $y'=f$ demande simplement de trouver les primitives de $f$ . Les équations $y'=ay$ et $y'=ay+b$ , où $a$ et $b$ sont des réels, font l'objet du programme.

ThéorèmeSolutions de

y'=ay

Pour un réel $a$ , les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y'=ay$ sont les fonctions

x \mapsto C\,\text{e}^{ax}

où $C$ est un réel quelconque.

Démonstration : Résolution de

y'=ay

Vérifions d'abord que ces fonctions conviennent : la dérivée de $x \mapsto C\,\text{e}^{ax}$ vaut $x \mapsto aC\,\text{e}^{ax}$ , qui est bien $a$ fois la fonction de départ.

Montrons ensuite qu'il n'y en a pas d'autres. Soit $f$ une solution, et posons

g(x)=f(x)\,\text{e}^{-ax}

Cette fonction est dérivable, et

g'(x)=f'(x)\,\text{e}^{-ax}-a\,f(x)\,\text{e}^{-ax}=\big(f'(x)-af(x)\big)\,\text{e}^{-ax}=0

puisque $f$ vérifie $f'=af$ . La fonction $g$ est donc constante sur $\mathbb{R}$ , égale à un réel $C$ , d'où

f(x)=C\,\text{e}^{ax}

ThéorèmeSolutions de

y'=ay+b

Pour deux réels $a$ et $b$ avec $a \neq 0$ , les solutions de $y'=ay+b$ sont les fonctions

x \mapsto C\,\text{e}^{ax}-\frac{b}{a}

où $C$ est un réel quelconque.

MéthodeLa démarche attendue

Chercher une solution particulière constante : en posant $y=k$ , la dérivée est nulle, donc $0=ak+b$ , d'où $k=-\dfrac{b}{a}$ .
Résoudre l'équation sans second membre $y'=ay$ , dont les solutions sont les $C\,\text{e}^{ax}$ .
Additionner les deux : toutes les solutions s'obtiennent ainsi.
Si une condition initiale est donnée, l'utiliser pour déterminer $C$ .

ExempleRefroidissement d'un liquide

La température d'un liquide qui refroidit dans une pièce à $20$ degrés vérifie $T'=-0{,}05\,(T-20)$ , c'est-à-dire $T'=-0{,}05\,T+1$ .

La solution constante vaut $20$ , et les solutions générales s'écrivent

T(t)=C\,\text{e}^{-0{,}05t}+20

Si la température initiale vaut $80$ degrés, alors $C+20=80$ , donc $C=60$ et

T(t)=60\,\text{e}^{-0{,}05t}+20

La température tend vers $20$ degrés lorsque le temps augmente, ce qui correspond bien à la situation décrite.

ExempleMéthode d'Euler

Lorsque la solution exacte n'est pas accessible, une approximation se construit pas à pas, en assimilant la courbe à sa tangente sur un petit intervalle.

def euler(a, b, y0, pas, n):
    y = y0
    valeurs = [y0]
    for i in range(n):
        y = y + pas * (a * y + b)
        valeurs.append(y)
    return valeurs

Plus le pas est petit, plus la courbe obtenue s'approche de la solution exacte.

Passer à la pratique

9 exercices corrigés sur ce chapitre.

Primitives et équations différentielles

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Notion de primitive

II. Primitives de référence

III. Équations différentielles