Chapitres de Terminale

Primitives, équations différentielles

1
Exercice 1
Facile
Déterminer une primitive $F$ de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué :
1. $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$ sur $\mathbb{R}$ ;
2. $g(x) = \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ ;
3. $h(x) = \cos(x) + 2\mathrm{e}^{x}$ sur $\mathbb{R}$ .
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On utilise les primitives de référence : une primitive de $x^n$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ (pour $n\neq -1$ ), une primitive de $\cos$ est $\sin$ , une primitive de $\mathrm{e}^x$ est $\mathrm{e}^x$ . Remarquer que $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$ .
Voir la correction
1. $F(x) = 3\times\dfrac{x^3}{3} - 4\times\dfrac{x^2}{2} + 5x = x^3 - 2x^2 + 5x$ .
2. $g(x) = x^{-2}$ , donc $F(x) = \dfrac{x^{-1}}{-1} = -\dfrac{1}{x}$ . En effet $\left(-\frac{1}{x}\right)' = \frac{1}{x^2}$ .
3. $F(x) = \sin(x) + 2\mathrm{e}^{x}$ .
2
Exercice 2
Facile
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 6x^2 + 2$ . Déterminer la primitive $F$ de $f$ qui vérifie $F(1) = 5$ .
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Déterminer d'abord la forme générale des primitives $F(x) = 2x^3 + 2x + C$ , puis utiliser la condition $F(1) = 5$ pour trouver la constante $C$ .
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Les primitives de $f$ sont de la forme $F(x) = 2x^3 + 2x + C$ , où $C\in\mathbb{R}$ . La condition $F(1) = 5$ donne :
$2\times 1^3 + 2\times 1 + C = 5 \iff 4 + C = 5 \iff C = 1.$
La primitive cherchée est donc $F(x) = 2x^3 + 2x + 1$ .
3
Exercice 3
Facile
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes en reconnaissant une forme $u'\times u^n$ ou $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ :
1. $f(x) = 2x(x^2+1)^3$ sur $\mathbb{R}$ ;
2. $g(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$ sur $\mathbb{R}$ .
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Poser $u(x) = x^2 + 1$ , alors $u'(x) = 2x$ . Une primitive de $u'u^3$ est $\dfrac{u^4}{4}$ et une primitive de $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ est $2\sqrt{u}$ .
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On pose $u(x) = x^2 + 1$ , donc $u'(x) = 2x$ .
1. $f(x) = u'(x)\,\big(u(x)\big)^3$ . Une primitive est $F(x) = \dfrac{\big(u(x)\big)^4}{4} = \dfrac{(x^2+1)^4}{4}$ . Vérification : $F'(x) = \frac{4(x^2+1)^3\times 2x}{4} = 2x(x^2+1)^3 = f(x)$ .
2. $g(x) = \dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}$ . Une primitive est $G(x) = 2\sqrt{u(x)} = 2\sqrt{x^2+1}$ . Vérification : $G'(x) = 2\times\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}} = g(x)$ .
4
Exercice 4
Facile
Résoudre les équations différentielles suivantes sur $\mathbb{R}$ :
1. $y' = 3y$ ;
2. $y' = -2y$ avec la condition initiale $y(0) = 5$ .
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Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}$ , $C\in\mathbb{R}$ . La condition initiale permet de déterminer $C$ .
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1. L'équation $y' = 3y$ est de la forme $y' = ay$ avec $a = 3$ . Ses solutions sont les fonctions
$y(x) = C\mathrm{e}^{3x}, \qquad C\in\mathbb{R}.$
1. L'équation $y' = -2y$ a pour solutions $y(x) = C\mathrm{e}^{-2x}$ , $C\in\mathbb{R}$ . La condition $y(0) = 5$ donne $C\mathrm{e}^{0} = C = 5$ . La solution est donc
$y(x) = 5\mathrm{e}^{-2x}.$
5
Équation différentielle $y'=2y+6$
Moyen
On considère l'équation différentielle $(E) : y' = 2y + 6$ .
1. Déterminer la solution constante $y_0$ de $(E)$ .
2. En posant $z = y - y_0$ , montrer que $z$ est solution de $z' = 2z$ .
3. En déduire toutes les solutions de $(E)$ , puis déterminer celle qui vérifie $y(0) = 1$ .
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Une solution constante $y_0$ vérifie $y_0' = 0$ , donc $0 = 2y_0 + 6$ . Les solutions de $z'=2z$ sont $z(x) = C\mathrm{e}^{2x}$ .
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6
Refroidissement et équation différentielle
Moyen
Un corps chaud se refroidit dans une pièce à température constante $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Sa température $T(t)$ (en $^{\circ}\mathrm{C}$ ), à l'instant $t$ (en minutes), vérifie l'équation différentielle
$T'(t) = -0{,}1\,\big(T(t) - 20\big),$
avec $T(0) = 80$ .
1. Montrer que $T$ est solution d'une équation du type $y' = ay + b$ et préciser $a$ et $b$ .
2. Déterminer l'expression de $T(t)$ .
3. Vers quelle température tend le corps quand $t\to+\infty$ ?
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Développer le second membre pour obtenir $T' = -0{,}1\,T + 2$ . Chercher la solution constante puis toutes les solutions, et appliquer la condition initiale.
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7
(Démonstration de cours.)
Moyen
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$ .
1. Soit $G$ une autre primitive de $f$ sur $I$ . On pose $\varphi = G - F$ . Calculer $\varphi'$ .
2. En déduire que $G$ et $F$ diffèrent d'une constante.
3. Application : sachant que $F(x) = \sin(x)$ est une primitive de $\cos$ sur $\mathbb{R}$ , donner toutes les primitives de $\cos$ vérifiant $G(0) = 3$ .
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Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante. C'est le résultat clé du chapitre.
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8
(Méthode d'Euler.)
Difficile
On considère l'équation différentielle $y' = y$ avec $y(0) = 1$ , dont la solution exacte est $y(x) = \mathrm{e}^{x}$ . On approche cette solution sur $[0\,;\,1]$ par la méthode d'Euler avec un pas $h = 0{,}5$ . On note $y_0 = 1$ et $y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n, y_n)$ où $f(x,y) = y$ .
1. Écrire la relation de récurrence liant $y_{n+1}$ et $y_n$ .
2. Calculer $y_1$ et $y_2$ (valeurs approchées de $y(0{,}5)$ et $y(1)$ ).
3. Comparer $y_2$ à la valeur exacte $\mathrm{e}\approx 2{,}718$ .
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9
(Équation logistique.)
Difficile
La taille $P(t)$ d'une population (en milliers) vérifie l'équation logistique
$P'(t) = 0{,}5\,P(t)\left(1 - \frac{P(t)}{10}\right).$
On admet que la solution vérifiant $P(0) = 2$ est
$P(t) = \frac{10}{1 + 4\,\mathrm{e}^{-0{,}5\,t}}.$
1. Vérifier que $P(0) = 2$ .
2. Déterminer $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}P(t)$ et interpréter.
3. Montrer que $P$ est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .
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Primitives, équations différentielles

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Équation différentielle y′=2y+6y'=2y+6y′=2y+6

Refroidissement et équation différentielle

(Démonstration de cours.)

(Méthode d'Euler.)

(Équation logistique.)

Équation différentielle $y'=2y+6$