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Cours de Terminale

Orthogonalité et distances dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace, vecteur normal à un plan, projeté orthogonal et calculs de distances.

Avant de commencer

  • •Calculer un produit scalaire dans le plan.
  • •Décomposer un vecteur dans une base de l'espace.

À la fin du chapitre, tu sais

  • •Calculer un produit scalaire en coordonnées dans une base orthonormée.
  • •Démontrer l'orthogonalité de deux droites, d'une droite et d'un plan.
  • •Déterminer un vecteur normal à un plan.
  • •Calculer la distance d'un point à une droite ou à un plan.
Sommaire

I. Produit scalaire dans l'espace

Deux vecteurs de l'espace, quels qu'ils soient, admettent toujours des représentants dans un même plan. Le produit scalaire vu en Première s'applique donc dans ce plan, et toutes ses propriétés se transportent telles quelles.

DéfinitionDéfinition et propriétés

Pour deux vecteurs non nuls u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} formant un angle θ\theta :

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta

Le produit scalaire est symétrique, linéaire par rapport à chacun de ses deux arguments, et le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme.

PropriétéExpression en base orthonormée

Une base (i⃗,j⃗,k⃗)(\vec{i},\vec{j},\vec{k}) est orthonormée lorsque les trois vecteurs sont deux à deux orthogonaux et de norme 11.

Dans une telle base, pour u⃗ (x ;y ;z)\vec{u}\,(x\,;y\,;z) et v⃗ (x′ ;y′ ;z′)\vec{v}\,(x'\,;y'\,;z') :

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′∥u⃗∥=x2+y2+z2\vec{u} \cdot \vec{v}=xx'+yy'+zz' \qquad \|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

La distance entre deux points AA et BB s'en déduit :

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}
PropriétéDéveloppements
∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2+2\,\vec{u} \cdot \vec{v}+\|\vec{v}\|^2 u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\right)

La seconde égalité, appelée formule de polarisation, sert lorsque seules des longueurs sont connues.

II. Orthogonalité

ThéorèmeCaractérisation

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Deux droites de l'espace sont dites orthogonales lorsque leurs vecteurs directeurs le sont. Elles n'ont pas nécessairement de point commun : deux arêtes non coplanaires d'un cube peuvent être orthogonales sans se couper.

DéfinitionDroite orthogonale à un plan

Une droite est orthogonale à un plan lorsqu'elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Il suffit en fait qu'elle soit orthogonale à deux droites sécantes du plan, ce qui rend la vérification praticable.

DéfinitionVecteur normal à un plan

Un vecteur normal à un plan PP est un vecteur non nul dont la direction est orthogonale au plan.

Le plan passant par un point AA et de vecteur normal n⃗\vec{n} est alors l'ensemble des points MM tels que

AM⃗⋅n⃗=0\vec{AM} \cdot \vec{n}=0
MéthodeTrouver un vecteur normal

On part de deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} non colinéaires qui dirigent le plan, et on cherche un vecteur n⃗ (a ;b ;c)\vec{n}\,(a\,;b\,;c) vérifiant les deux conditions n⃗⋅u⃗=0\vec{n} \cdot \vec{u}=0 et n⃗⋅v⃗=0\vec{n} \cdot \vec{v}=0.

Le système obtenu compte deux équations pour trois inconnues : il admet une infinité de solutions, toutes colinéaires. On en choisit une, de préférence à coordonnées entières.

Exemple

Cherchons un vecteur normal au plan dirigé par u⃗ (1 ;2 ;0)\vec{u}\,(1\,;2\,;0) et v⃗ (0 ;1 ;3)\vec{v}\,(0\,;1\,;3). Les conditions s'écrivent

a+2b=0etb+3c=0a+2b=0 \qquad \text{et} \qquad b+3c=0

En posant c=1c=1, on obtient b=−3b=-3 puis a=6a=6. Le vecteur n⃗ (6 ;−3 ;1)\vec{n}\,(6\,;-3\,;1) convient.

III. Projeté orthogonal et distances

DéfinitionProjeté orthogonal

Le projeté orthogonal d'un point MM sur un plan PP est le point HH de PP tel que le vecteur MH⃗\vec{MH} soit normal à PP.

Le projeté orthogonal de MM sur une droite dd est le point HH de dd tel que MH⃗\vec{MH} soit orthogonal à un vecteur directeur de dd.

Démonstration : Le projeté est le point le plus proche

On considère un plan PP, un point MM et son projeté orthogonal HH sur PP. Soit KK un point quelconque de PP, distinct de HH. La relation de Chasles donne

MK⃗=MH⃗+HK⃗\vec{MK}=\vec{MH}+\vec{HK}

En passant aux carrés scalaires :

MK2=MH2+2 MH⃗⋅HK⃗+HK2MK^2=MH^2+2\,\vec{MH} \cdot \vec{HK}+HK^2

Le vecteur MH⃗\vec{MH} est normal au plan et le vecteur HK⃗\vec{HK} est contenu dans le plan, donc leur produit scalaire est nul. Il reste

MK2=MH2+HK2⩾MH2MK^2=MH^2+HK^2 \geqslant MH^2

avec égalité seulement si HK=0HK=0, c'est-à-dire si K=HK=H. Le projeté orthogonal est donc bien le point du plan le plus proche de MM, et la distance de MM au plan vaut MHMH.

MéthodeCalculer une distance à un plan
  1. Déterminer un vecteur normal n⃗\vec{n} au plan.
  2. Écrire la droite passant par MM et dirigée par n⃗\vec{n}, sous forme paramétrique.
  3. Chercher son point d'intersection HH avec le plan, en reportant dans l'équation du plan.
  4. Calculer la distance MHMH.
Remarque

La même démonstration, menée avec une droite au lieu d'un plan, montre que le projeté orthogonal sur une droite est aussi le point le plus proche. Le raisonnement repose uniquement sur le théorème de Pythagore, écrit avec des produits scalaires.

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