Chapitres de Terminale

Orthogonalité et distances dans l'espace

1
Exercice 1
Facile
L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les vecteurs $\vec{u}(1 ; -2 ; 2)$ et $\vec{v}(3 ; 1 ; 4)$ .
1. Calcule le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .
2. Calcule la norme $\|\vec{u}\|$ .
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En repère orthonormé, $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' + z z'$ et $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ .
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1. On calcule : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1\times 3 + (-2)\times 1 + 2 \times 4 = 3 - 2 + 8 = 9.$
2. On calcule : $\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.$
2
Exercice 2
Facile
Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}(2 ; -1 ; 3)$ et $\vec{v}(1 ; 5 ; 1)$ .
1. Montre que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
2. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}(4 ; -2 ; 6)$ sont-ils orthogonaux ? colinéaires ?
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Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
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1. On calcule $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2\times 1 + (-1)\times 5 + 3\times 1 = 2 - 5 + 3 = 0$ . Le produit scalaire est nul, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
2. On a $\vec{w} = 2\vec{u}$ car $(4 ; -2 ; 6) = 2\times(2 ; -1 ; 3)$ : les vecteurs sont colinéaires. Leur produit scalaire vaut $\vec{u}\cdot\vec{w} = 2\|\vec{u}\|^2 = 2\times 14 = 28 \ne 0$ , donc ils ne sont pas orthogonaux.
3
Exercice 3
Facile
Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1 ; 2 ; -1)$ et $B(4 ; 0 ; 3)$ .
1. Calcule la distance $AB$ .
2. Détermine les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$ .
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$AB = \|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ . Le milieu a pour coordonnées la moyenne de celles de $A$ et $B$ .
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1. On a $\vec{AB} = (3 ; -2 ; 4)$ , donc $AB = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}.$
2. Le milieu $I$ a pour coordonnées : $I\left(\frac{1+4}{2} ; \frac{2+0}{2} ; \frac{-1+3}{2}\right) = I\left(\frac{5}{2} ; 1 ; 1\right).$
4
Exercice 4
Facile
On considère un plan $\mathcal{P}$ passant par le point $A(1 ; 0 ; 2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2 ; -1 ; 3)$ .
1. Détermine une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ .
2. Le point $B(0 ; 1 ; 1)$ appartient-il à $\mathcal{P}$ ?
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Un plan de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ a une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$ . On détermine $d$ en utilisant les coordonnées de $A$ .
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1. Le plan a une équation de la forme $2x - y + 3z + d = 0$ . Comme $A(1;0;2) \in \mathcal{P}$ : $2\times 1 - 0 + 3\times 2 + d = 0 \iff 2 + 6 + d = 0 \iff d = -8.$ Une équation cartésienne est donc $2x - y + 3z - 8 = 0$ .
2. On teste $B(0;1;1)$ : $2\times 0 - 1 + 3\times 1 - 8 = -1 + 3 - 8 = -6 \ne 0$ . Donc $B \notin \mathcal{P}$ .
5
Produit scalaire et angle $\widehat{BAC}$
Moyen
Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1 ; 1 ; 0)$ , $B(3 ; -1 ; 2)$ et $C(2 ; 1 ; 3)$ .
1. Détermine les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ , puis calcule $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ .
2. En déduire une valeur approchée au degré près de l'angle $\widehat{BAC}$ .
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Utilise la formule $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \|\vec{AB}\| \times \|\vec{AC}\| \times \cos\widehat{BAC}$ .
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6
Équation cartésienne d'un plan
Moyen
Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(2 ; 0 ; 1)$ , $B(1 ; 2 ; 3)$ et $C(3 ; 1 ; 0)$ .
1. Montre que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires.
2. Détermine un vecteur $\vec{n}$ normal au plan $(ABC)$ .
3. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$ .
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Un vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ est orthogonal à la fois à $\vec{AB}$ et à $\vec{AC}$ : résous le système $\vec{n}\cdot\vec{AB} = 0$ et $\vec{n}\cdot\vec{AC} = 0$ .
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7
Projeté orthogonal et distance à un plan
Moyen
Dans un repère orthonormé, on considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + 2y - 2z + 3 = 0$ et le point $A(1 ; 1 ; 4)$ .
1. Donne un vecteur normal $\vec{n}$ à $\mathcal{P}$ , puis une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $A$ et orthogonale à $\mathcal{P}$ .
2. Détermine les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $\mathcal{P}$ .
3. En déduire la distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$ .
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Le projeté $H$ est l'intersection de la droite $\Delta$ (dirigée par $\vec{n}$ ) avec le plan $\mathcal{P}$ . La distance cherchée est $AH$ .
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8
Exercice 8
Difficile
Dans un repère orthonormé, on considère la sphère $\mathcal{S}$ de centre $\Omega(1 ; -1 ; 2)$ et de rayon $R = 3$ , ainsi que le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + 2z - 3 = 0$ .
1. Calcule la distance du centre $\Omega$ au plan $\mathcal{P}$ .
2. En déduire que $\mathcal{P}$ coupe la sphère $\mathcal{S}$ selon un cercle, et détermine le rayon $r$ de ce cercle.
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9
Exercice 9
Difficile
Dans un repère orthonormé, on considère le tétraèdre $OABC$ avec $O(0;0;0)$ , $A(2;0;0)$ , $B(0;2;0)$ et $C(0;0;2)$ . On cherche la sphère circonscrite à ce tétraèdre, c'est-à-dire passant par les quatre sommets.
1. On note $\Omega(x ; y ; z)$ le centre de cette sphère. Traduis le fait que $\Omega$ est équidistant de $O$ et de $A$ , puis de $O$ et de $B$ , puis de $O$ et de $C$ .
2. En déduire les coordonnées de $\Omega$ et le rayon de la sphère circonscrite.
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Orthogonalité et distances dans l'espace

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Produit scalaire et angle BAC^\widehat{BAC}BAC

Équation cartésienne d'un plan

Projeté orthogonal et distance à un plan

Exercice 8

Exercice 9

Produit scalaire et angle $\widehat{BAC}$