Ascension Maths

I. Limites en l'infini et en un point

Étudier une limite revient à décrire le comportement d'une fonction lorsque la variable s'approche d'une valeur, ou s'éloigne indéfiniment. Le vocabulaire reprend celui des suites, en l'appliquant à une variable continue.

DéfinitionLimite en l'infini

La fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ lorsque tout intervalle $[A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est assez grand. On écrit

\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty

La fonction $f$ a pour limite le réel $\ell$ en $+\infty$ lorsque tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est assez grand.

DéfinitionLimite infinie en un point

La fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en un réel $a$ lorsque les valeurs $f(x)$ dépassent tout réel fixé dès que $x$ est assez proche de $a$ .

Une telle limite s'observe souvent d'un seul côté : on précise alors $x \to a^+$ ou $x \to a^-$ , car les comportements à droite et à gauche peuvent différer.

DéfinitionAsymptotes

Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=\ell$ , la droite d'équation $y=\ell$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$ .

Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)=\pm\infty$ , la droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale à cette courbe.

PropriétéLimites des fonctions de référence

fonction	en $-\infty$	en $+\infty$
$x \mapsto x^n$ , $n$ pair	$+\infty$	$+\infty$
$x \mapsto x^n$ , $n$ impair	$-\infty$	$+\infty$
$x \mapsto \dfrac{1}{x}$	$0$	$0$
$x \mapsto \sqrt{x}$		$+\infty$
$x \mapsto \text{e}^x$	$0$	$+\infty$

En $0$ , la fonction inverse tend vers $-\infty$ à gauche et vers $+\infty$ à droite.

II. Opérations et formes indéterminées

PropriétéOpérations

Les limites d'une somme, d'un produit et d'un quotient se calculent terme à terme, sauf dans les quatre cas indéterminés :

\infty-\infty \qquad 0 \times \infty \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \frac{0}{0}

MéthodeLever une indétermination

Pour un polynôme ou un quotient de polynômes en l'infini, on factorise le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur, puis on simplifie.

Pour une expression contenant une racine carrée, on multiplie par la quantité conjuguée.

Pour une expression contenant une exponentielle, on utilise les croissances comparées de la section suivante.

ExempleQuotient de polynômes

Cherchons la limite en $+\infty$ de la fonction définie par

f(x)=\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5}

Le calcul direct donne la forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$ . En factorisant par $x^2$ en haut et en bas :

f(x)=\frac{x^2\left(3-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(2+\dfrac{5}{x^2}\right)} =\frac{3-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{2+\dfrac{5}{x^2}}

Les termes en $\dfrac{1}{x}$ tendent vers $0$ , donc la limite vaut $\dfrac{3}{2}$ . La courbe admet une asymptote horizontale d'équation $y=\dfrac{3}{2}$ .

Remarque

Pour un quotient de polynômes en l'infini, la limite ne dépend que des termes de plus haut degré. Ce raccourci permet de prévoir le résultat, mais la factorisation reste à écrire pour justifier la réponse.

III. Comparaison et gendarmes

ThéorèmeThéorèmes de comparaison

On considère deux fonctions $f$ et $g$ telles que $f(x) \leqslant g(x)$ pour $x$ assez grand.

Si $f(x)$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ , alors $g(x)$ aussi.

Si $g(x)$ tend vers $-\infty$ , alors $f(x)$ aussi.

ThéorèmeThéorème des gendarmes

Si $f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x)$ pour $x$ assez grand, et si $f$ et $h$ ont la même limite finie $\ell$ en $+\infty$ , alors $g$ a également pour limite $\ell$ .

Exemple

Pour la fonction définie par $g(x)=\dfrac{\cos x}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ , l'encadrement $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ donne

-\frac{1}{x} \leqslant g(x) \leqslant \frac{1}{x}

Les deux fonctions encadrantes tendent vers $0$ en $+\infty$ , donc $g$ aussi.

IV. Croissances comparées

Lorsqu'une exponentielle et une puissance sont en concurrence, l'exponentielle l'emporte toujours. Ce résultat lève à lui seul un grand nombre d'indéterminations.

ThéorèmeCroissances comparées

Pour tout entier naturel $n$ :

\lim_{x \to +\infty}\frac{\text{e}^x}{x^n}=+\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to -\infty} x^n\,\text{e}^x = 0

Démonstration : Cas

n=1

Étudions la fonction $g$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par

g(x)=\text{e}^x-\frac{x^2}{2}

Sa dérivée vaut $g'(x)=\text{e}^x-x$ , et sa dérivée seconde $g''(x)=\text{e}^x-1$ , qui est positive sur $[0\,;+\infty[$ .

La fonction $g'$ est donc croissante sur cet intervalle, avec $g'(0)=1>0$ : elle reste positive. Par conséquent $g$ est croissante, et comme $g(0)=1>0$ , la fonction $g$ reste positive. Ainsi, pour tout $x \geqslant 0$ :

\text{e}^x \geqslant \frac{x^2}{2} \qquad \text{donc} \qquad \frac{\text{e}^x}{x} \geqslant \frac{x}{2}

Le membre de droite tend vers $+\infty$ , donc par comparaison le quotient $\dfrac{\text{e}^x}{x}$ tend vers $+\infty$ .

Exemple

La limite en $+\infty$ de la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^3+2}{\text{e}^x}$ vaut $0$ : l'exponentielle du dénominateur l'emporte sur le polynôme du numérateur.

Attention

Les croissances comparées ne s'appliquent qu'en $+\infty$ ou en $-\infty$ , et jamais en un point fini. Devant une forme indéterminée en un réel $a$ , il faut factoriser ou utiliser le taux de variation, pas invoquer ce théorème.

Limites des fonctions

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Limites en l'infini et en un point

II. Opérations et formes indéterminées

III. Comparaison et gendarmes

IV. Croissances comparées