Limites des fonctions

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par :

   $$f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + x}.$$
   Voir un indice

   Factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré, ici $x^2$.

   Voir la correction

   Pour $x > 0$, on factorise par $x^2$ :

   $$f(x) = \frac{x^2\left(2 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)} = \frac{2 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2}}{1 + \dfrac{1}{x}}.$$

   Quand $x\to+\infty$ : $\dfrac{3}{x}\to 0$, $\dfrac{1}{x^2}\to 0$, $\dfrac{1}{x}\to 0$. Le numérateur tend vers $2$ et le dénominateur vers $1$. Par quotient :

   $$\lim_{x\to+\infty} f(x) = \frac{2}{1} = 2.$$

   La courbe admet la droite d'équation $y = 2$ pour asymptote horizontale en $+\infty$.

2. 2

   Exercice 2

   Facile

   On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x) = \dfrac{1}{(x-1)^2}$. Déterminer $\lim\limits_{x\to 1} f(x)$ et interpréter graphiquement le résultat. Déterminer également $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)$.

   Voir un indice

   Étudier le signe et la limite du dénominateur $(x-1)^2$ lorsque $x$ tend vers $1$.

   Voir la correction

   Lorsque $x\to 1$, on a $(x-1)^2\to 0$ avec $(x-1)^2 > 0$ pour $x\neq 1$. Le quotient d'un nombre positif fixe par un nombre positif tendant vers $0$ tend vers $+\infty$ :

   $$\lim_{x\to 1} \frac{1}{(x-1)^2} = +\infty.$$

   Graphiquement, la droite d'équation $x = 1$ est asymptote verticale à la courbe de $f$.

   Lorsque $x\to+\infty$, $(x-1)^2\to+\infty$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = 0$ : la droite $y=0$ est asymptote horizontale en $+\infty$.

3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Donner, sans justification détaillée, les limites suivantes des fonctions de référence :

   $$\lim_{x\to+\infty} \mathrm{e}^{x}, \quad \lim_{x\to-\infty} \mathrm{e}^{x}, \quad \lim_{x\to+\infty} \sqrt{x}, \quad \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}, \quad \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x}.$$
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   Ce sont des limites au programme à connaître par cœur. Faire éventuellement une esquisse de chaque courbe.

   Voir la correction

   $$\lim_{x\to+\infty} \mathrm{e}^{x} = +\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty} \mathrm{e}^{x} = 0, \qquad \lim_{x\to+\infty} \sqrt{x} = +\infty,$$ $$\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = 0.$$

   En particulier, l'axe des abscisses ($y=0$) est asymptote horizontale à la courbe de $x\mapsto\mathrm{e}^x$ en $-\infty$, et à celle de $x\mapsto\dfrac{1}{x}$ en $+\infty$ ; l'axe des ordonnées ($x=0$) est asymptote verticale à la courbe de $x\mapsto\dfrac{1}{x}$.

4. 4

   Exercice 4

   Facile

   Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par :

   $$f(x) = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}.$$
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   Il s'agit d'une forme indéterminée « $\infty - \infty$ ». Multiplier et diviser par la quantité conjuguée $\sqrt{x+1} + \sqrt{x}$.

   Voir la correction

   Pour $x\geq 0$, on multiplie par la quantité conjuguée :

   $$f(x) = \frac{\left(\sqrt{x+1} - \sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1} + \sqrt{x}\right)}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{(x+1) - x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}.$$

   Quand $x\to+\infty$, $\sqrt{x+1} + \sqrt{x}\to+\infty$, donc :

   $$\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0.$$
5. 5

   Limites par croissances comparées

   Moyen

   En utilisant les croissances comparées, déterminer les limites suivantes :

   $$\text{(a)}\ \lim_{x\to+\infty} \frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{3}} \qquad\qquad \text{(b)}\ \lim_{x\to+\infty} x\,\mathrm{e}^{-x}.$$
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   Rappel des croissances comparées : pour tout entier $n\geq 1$, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} x^n\mathrm{e}^{-x} = 0$.

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6. 6

   Limite d'un polynôme en $-\infty$

   Moyen

   Déterminer la limite en $-\infty$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

   $$f(x) = -2x^3 + x^2 - 5.$$
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   Pour un polynôme, factoriser par le terme de plus haut degré (le terme prépondérant), ici $x^3$.

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7. 7

   Limite finie et asymptote horizontale

   Moyen

   On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par :

   $$f(x) = \frac{2x + \sin(x)}{x}.$$

   Démontrer que $f$ admet une limite finie en $+\infty$ que l'on précisera, et interpréter graphiquement.

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   Écrire $f(x) = 2 + \dfrac{\sin(x)}{x}$ et encadrer $\dfrac{\sin(x)}{x}$ à l'aide de $-1\leq\sin(x)\leq 1$, puis appliquer le théorème des gendarmes.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par :

   $$f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x}.$$

   Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x + 1$ est asymptote oblique à la courbe de $f$ en $+\infty$, et étudier la position relative de la courbe et de $\mathcal{D}$.

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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x) = x + \sqrt{x}$. Déterminer $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)$, puis étudier la nature de la branche infinie de la courbe de $f$ en $+\infty$ (calcul de $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ et de $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(f(x)-x\big)$).

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