Ascension Maths

I. Périodicité et parité

Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur $\mathbb{R}$ tout entier, mais elles se répètent. Deux propriétés permettent de ramener leur étude à un intervalle très court, ce qui allège considérablement le travail.

PropriétéPériodicité

Pour tout réel $x$ et tout entier relatif $k$ :

\cos(x+2k\pi)=\cos x \qquad \sin(x+2k\pi)=\sin x

Les deux fonctions sont donc périodiques de période $2\pi$ : leur courbe se reproduit à l'identique tous les $2\pi$ .

PropriétéParité

Pour tout réel $x$ :

\cos(-x)=\cos x \qquad \sin(-x)=-\sin x

La fonction cosinus est paire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La fonction sinus est impaire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

MéthodeRéduire le domaine d'étude

L'étude se mène d'abord sur un intervalle de longueur $2\pi$ , par exemple $[-\pi\,;\pi]$ , grâce à la périodicité.

La parité permet ensuite de se restreindre à $[0\,;\pi]$ , la courbe étant complétée par symétrie.

La conclusion doit mentionner ces deux réductions, sans quoi l'étude n'est valable que sur l'intervalle restreint.

II. Dérivées et variations

ThéorèmeDérivées

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ , et

(\sin x)'=\cos x \qquad (\cos x)'=-\sin x

Le signe moins de la seconde formule s'oublie facilement : c'est la source d'erreur la plus fréquente du chapitre.

PropriétéFonctions composées

Pour une fonction $u$ dérivable :

\big(\sin u\big)'=u'\cos u \qquad \big(\cos u\big)'=-u'\sin u

En particulier, pour un réel $\omega$ , la fonction $x \mapsto \sin(\omega x)$ a pour dérivée $x \mapsto \omega\cos(\omega x)$ .

PropriétéVariations sur une période

Sur l'intervalle $[0\,;\pi]$ , la fonction sinus croît de $0$ à $1$ sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ , puis décroît de $1$ à $0$ .

Sur ce même intervalle, la fonction cosinus décroît de $1$ à $-1$ .

Ces variations se lisent directement sur le cercle trigonométrique, en suivant l'ordonnée pour le sinus et l'abscisse pour le cosinus.

Exemple

Étudions la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+\cos x$ . Sa dérivée vaut

f'(x)=1-\sin x

Comme $\sin x \leqslant 1$ pour tout réel, cette dérivée est positive : la fonction est croissante sur $\mathbb{R}$ . Elle s'annule aux points où $\sin x = 1$ , où la courbe présente une tangente horizontale sans extrémum.

III. Équations et inéquations

MéthodeRésoudre

\cos x = a

sur

[-\pi\,;\pi]

L'équation n'a de solution que si le réel $a$ appartient à $[-1\,;1]$ .

Dans ce cas, on repère sur le cercle trigonométrique la droite verticale d'abscisse $a$ : elle coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses, d'où deux solutions opposées $\alpha$ et $-\alpha$ .

Sur $\mathbb{R}$ tout entier, les solutions s'écrivent $\alpha+2k\pi$ et $-\alpha+2k\pi$ , avec $k$ entier relatif.

Exemple

Résolvons $\cos x = \dfrac{1}{2}$ sur $[-\pi\,;\pi]$ .

La valeur remarquable $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$ donne une première solution, et la symétrie en donne une seconde. L'ensemble des solutions est

\left\{-\frac{\pi}{3}\,;\frac{\pi}{3}\right\}

MéthodeRésoudre une inéquation

Pour $\cos x \leqslant a$ , on cherche les points du cercle situés à gauche de la droite verticale d'abscisse $a$ , puis on lit l'intervalle d'angles correspondant.

Sur $[-\pi\,;\pi]$ , l'inéquation $\cos x \leqslant \dfrac{1}{2}$ a donc pour ensemble de solutions

\left[-\pi\,;-\frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}\,;\pi\right]

Un cercle dessiné au brouillon évite ici toutes les erreurs de sens.

Attention

Une équation trigonométrique posée sur $\mathbb{R}$ admet une infinité de solutions. Oublier le terme $2k\pi$ dans la réponse revient à n'en donner que deux, et la question est alors incomplète.

Fonctions sinus et cosinus

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Périodicité et parité

II. Dérivées et variations

III. Équations et inéquations