Fonctions sinus et cosinus

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Calculer les dérivées des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :

   1. $f(x) = 3\sin(x) - 2\cos(x)$
   2. $g(x) = \sin(2x)$
   3. $h(x) = x\cos(x)$
   Voir un indice

   On utilise $(\sin)' = \cos$, $(\cos)' = -\sin$, ainsi que la dérivée d'un produit et la formule $(u(ax+b))' = a\,u'(ax+b)$.

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   1. $f'(x) = 3\cos(x) - 2\times(-\sin(x)) = 3\cos(x) + 2\sin(x)$.

   2. Avec $g = \sin(u)$ où $u(x) = 2x$, on a $g'(x) = u'(x)\cos(u(x)) = 2\cos(2x)$.

   3. $h$ est un produit $u\times v$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=\cos(x)$. Donc

   $$h'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1\times\cos(x) + x\times(-\sin(x)) = \cos(x) - x\sin(x).$$
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Résoudre dans l'intervalle $[-\pi\,;\,\pi]$ l'équation $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$, puis l'équation $\sin(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

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   On connaît les valeurs remarquables : $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. On utilise la parité du cosinus et l'imparité du sinus.

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   Équation $\cos(x) = \frac{1}{2}$. On sait que $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$. Comme $\cos$ est paire, $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ aussi. Sur $[-\pi\,;\,\pi]$, les solutions sont donc

   $$x = \frac{\pi}{3} \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3}.$$

   Équation $\sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. On sait que $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, donc $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ (imparité). L'autre solution sur $[-\pi\,;\,\pi]$ vérifie $\sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ avec $x = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$. Les solutions sont donc

   $$x = -\frac{\pi}{4} \quad \text{ou} \quad x = -\frac{3\pi}{4}.$$
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos(x) + \sin(x)$.

   1. Montrer que $f$ est $2\pi$-périodique.
   2. Calculer $f'(x)$ et déterminer le signe de $f'$ sur $[0\,;\,2\pi]$.
   3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\,2\pi]$.
   Voir un indice

   Pour la périodicité, utiliser $\cos(x+2\pi) = \cos(x)$ et $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$. Pour le signe de $f'$, résoudre $f'(x)=0$, c'est-à-dire $\cos(x) = \sin(x)$.

   Voir la correction

   1. Pour tout réel $x$, $f(x+2\pi) = \cos(x+2\pi) + \sin(x+2\pi) = \cos(x) + \sin(x) = f(x)$. Donc $f$ est $2\pi$-périodique.

   2. $f'(x) = -\sin(x) + \cos(x)$. On résout $f'(x) = 0 \iff \cos(x) = \sin(x)$. Sur $[0\,;\,2\pi]$, cela donne $x = \frac{\pi}{4}$ et $x = \frac{5\pi}{4}$.

   On a $f'(x) > 0 \iff \cos(x) > \sin(x)$. Sur $[0\,;\,\frac{\pi}{4}[$, $f'>0$ ; sur $]\frac{\pi}{4}\,;\,\frac{5\pi}{4}[$, $f'<0$ ; sur $]\frac{5\pi}{4}\,;\,2\pi]$, $f'>0$.

   3. $f$ est croissante sur $[0\,;\,\frac{\pi}{4}]$, décroissante sur $[\frac{\pi}{4}\,;\,\frac{5\pi}{4}]$, croissante sur $[\frac{5\pi}{4}\,;\,2\pi]$. Le maximum vaut $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ et le minimum vaut $f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$.
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   En utilisant la limite $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x} = 1$, calculer les limites suivantes :

   1. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(3x)}{x}$
   2. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{5x}$
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   Faire apparaître le quotient $\dfrac{\sin(u)}{u}$ en multipliant et divisant par la bonne quantité.

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   1. Pour $x\neq 0$ :

   $$\frac{\sin(3x)}{x} = 3\times\frac{\sin(3x)}{3x}.$$

   Posons $u = 3x$ ; quand $x\to 0$, $u\to 0$ et $\dfrac{\sin(u)}{u}\to 1$. Donc

   $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = 3\times 1 = 3.$$

   2. Pour $x\neq 0$ :

   $$\frac{\sin(x)}{5x} = \frac{1}{5}\times\frac{\sin(x)}{x} \xrightarrow[x\to 0]{} \frac{1}{5}\times 1 = \frac{1}{5}.$$
5. 5

   Inégalité $\sin x \leq x$

   Moyen

   On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin(x) - x$.

   1. Étudier la parité de $f$.
   2. Calculer $f'(x)$ et déterminer son signe.
   3. En déduire le sens de variation de $f$ et le signe de $f(x)$ pour $x\geq 0$. Conclure que $\sin(x)\leq x$ pour tout $x\geq 0$.
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   Pour le signe de $f'$, se rappeler que $-1\leq\cos(x)\leq 1$. Pour le signe de $f$, utiliser $f(0)$ et le sens de variation.

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6. 6

   Aire maximale d'un rectangle inscrit

   Moyen

   Un rectangle $ABCD$ est inscrit dans un demi-cercle de rayon $1$ de la manière suivante : le côté $[AB]$ est porté par le diamètre, et les sommets $C$ et $D$ sont sur le demi-cercle. On note $\theta$ l'angle tel que, en plaçant le centre $O$ au milieu de $[AB]$, on ait $OB = \cos(\theta)$ et $BC = \sin(\theta)$ avec $\theta\in\left]0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[$. L'aire du rectangle est alors $\mathcal{A}(\theta) = 2\cos(\theta)\sin(\theta)$.

   1. Justifier que $\mathcal{A}(\theta) = \sin(2\theta)$.
   2. Déterminer la valeur de $\theta$ qui rend l'aire maximale, et donner cette aire maximale.
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   Utiliser la formule de duplication $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$, ou bien dériver $\mathcal{A}$. Le sinus atteint son maximum $1$ en $\frac{\pi}{2}$.

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7. 7

   Étude de $\cos(2x)+2\cos x$

   Moyen

   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos(2x) + 2\cos(x)$.

   1. Montrer que $f$ est paire et $2\pi$-périodique. On pourra donc l'étudier sur $[0\,;\,\pi]$.
   2. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = -2\sin(x)\big(2\cos(x)+1\big)$.

   On rappelle que $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.

   1. Étudier le signe de $f'$ sur $[0\,;\,\pi]$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.
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   Pour la factorisation, exprimer $\sin(2x)$ en fonction de $\sin(x)$ et $\cos(x)$. Sur $[0\,;\,\pi]$, $\sin(x)\geq 0$, donc le signe de $f'$ dépend de celui de $2\cos(x)+1$.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   On étudie la fonction tangente définie par $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[$.

   1. Montrer que $\tan'(x) = 1 + \tan^2(x) = \dfrac{1}{\cos^2(x)}$.
   2. En déduire le sens de variation de $\tan$ sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[$.
   3. Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan(x)}{x}$.
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   En admettant que $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x} = 1$, on veut établir que $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(x)}{x^2} = \dfrac{1}{2}$.

   1. Montrer que pour tout réel $x$, $1 - \cos(x) = 2\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right)$.
   2. En déduire la limite demandée.
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