Ascension Maths

I. Une fonction réciproque de l'exponentielle

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et prend toutes les valeurs strictement positives. Chaque réel strictement positif est donc l'image d'un unique réel, ce qui permet de remonter de l'image vers l'antécédent.

DéfinitionLogarithme népérien

Pour tout réel $x$ strictement positif, il existe un unique réel $y$ tel que $\text{e}^{y}=x$ . Ce réel s'appelle le logarithme népérien de $x$ et se note $\ln x$ .

La fonction logarithme népérien est donc définie sur $]0\,;+\infty[$ et vérifie, pour tout $x>0$ et tout réel $y$ :

\ln x = y \iff x = \text{e}^{y}

PropriétéValeurs et simplifications

\ln 1 = 0 \qquad \ln \text{e} = 1 \qquad \text{e}^{\ln x}=x \;\;(x>0) \qquad \ln\left(\text{e}^{x}\right)=x \;\;(x \in \mathbb{R})

Attention

Le logarithme d'un nombre négatif ou nul n'existe pas. Avant toute résolution, il faut donc déterminer les valeurs pour lesquelles les expressions placées sous un logarithme sont strictement positives, et ne conserver à la fin que les solutions qui les respectent.

II. Propriétés algébriques

PropriétéRelation fonctionnelle

Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ , et tout entier relatif $n$ :

\ln(ab)=\ln a+\ln b \qquad \ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b

\ln\!\left(\frac{1}{a}\right)=-\ln a \qquad \ln\!\left(a^n\right)=n\ln a \qquad \ln \sqrt{a}=\frac{1}{2}\ln a

Le logarithme transforme les produits en sommes, exactement à l'inverse de l'exponentielle.

PropriétéÉquations et inéquations

La fonction logarithme est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ , donc pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ :

\ln a = \ln b \iff a=b \qquad \text{et} \qquad \ln a<\ln b \iff a<b

ExempleUne équation

Résolvons $\ln(x)+\ln(x-3)=\ln 4$ .

L'existence des logarithmes impose $x>0$ et $x>3$ , donc $x>3$ .

L'équation devient $\ln\big(x(x-3)\big)=\ln 4$ , soit $x^2-3x-4=0$ . Le discriminant vaut $25$ , d'où les solutions $-1$ et $4$ .

Seule la valeur $4$ respecte la condition $x>3$ : l'ensemble des solutions est $\{4\}$ .

ExempleUn seuil

Cherchons le plus petit entier $n$ tel que $0{,}8^n<0{,}01$ .

En appliquant le logarithme, strictement croissant :

n\ln 0{,}8 < \ln 0{,}01

Le nombre $\ln 0{,}8$ est négatif, donc la division retourne l'inégalité :

n > \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8} \approx 20{,}6

Le plus petit entier convenable est donc $21$ . Le changement de sens lors de la division par un logarithme négatif est l'erreur la plus fréquente de ce type de question.

III. Dérivée et variations

ThéorèmeDérivée du logarithme

La fonction logarithme népérien est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ , et pour tout $x>0$ :

(\ln x)'=\frac{1}{x}

Cette dérivée étant strictement positive, la fonction est strictement croissante sur son ensemble de définition.

Démonstration : Calcul de la dérivée du logarithme

La dérivabilité de la fonction logarithme est admise. Notons $f$ cette fonction et partons de l'égalité valable pour tout $x>0$ :

\text{e}^{\,f(x)}=x

Dérivons les deux membres. À gauche, la dérivée d'une composée donne $f'(x)\,\text{e}^{\,f(x)}$ ; à droite, la dérivée vaut $1$ . Donc

f'(x)\,\text{e}^{\,f(x)}=1

Comme $\text{e}^{\,f(x)}=x$ , cette égalité s'écrit $x\,f'(x)=1$ , d'où

f'(x)=\frac{1}{x}

PropriétéDérivée d'un logarithme composé

Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ , alors

\big(\ln u\big)'=\frac{u'}{u}

Exemple

Pour la fonction définie par $f(x)=\ln(x^2+1)$ sur $\mathbb{R}$ , on pose $u(x)=x^2+1$ , strictement positive, d'où

f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}

Le dénominateur est positif, donc le signe de la dérivée est celui de $2x$ : la fonction décroît sur $]-\infty\,;0]$ puis croît sur $[0\,;+\infty[$ .

IV. Limites et croissances comparées

PropriétéLimites aux bornes

\lim_{x \to 0^+}\ln x = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty}\ln x = +\infty

L'axe des ordonnées est donc asymptote verticale à la courbe du logarithme. La croissance vers $+\infty$ est très lente : il faut atteindre $x = \text{e}^{10}$ , soit environ $22\,000$ , pour que le logarithme vaille seulement $10$ .

PropriétéCroissances comparées

Pour tout entier naturel $n$ non nul :

\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0

Devant une puissance, le logarithme est toujours le plus faible.

Démonstration : Limite en 0 de

x\ln x

Posons $x = \text{e}^{-t}$ , ce qui est possible pour tout $x>0$ en prenant $t = -\ln x$ . Quand $x$ tend vers $0$ par valeurs positives, le réel $t$ tend vers $+\infty$ .

L'expression devient

x\ln x = \text{e}^{-t} \times (-t) = -\frac{t}{\text{e}^{t}}

Or la croissance comparée de l'exponentielle et des puissances donne $\displaystyle\lim_{t \to +\infty}\frac{t}{\text{e}^{t}}=0$ .

Par conséquent, $x\ln x$ tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs positives.

Remarque

Les courbes du logarithme et de l'exponentielle sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite d'équation $y=x$ . Cette symétrie est la traduction graphique du fait que chacune défait ce que l'autre fait.

Fonction logarithme

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Une fonction réciproque de l'exponentielle

II. Propriétés algébriques

III. Dérivée et variations

IV. Limites et croissances comparées