Fonction logarithme népérien

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Simplifier les expressions suivantes.

   1. $A = \ln 6 - \ln 2$
   2. $B = \ln 8 - 3\ln 2$
   3. $C = 2\ln 5 + \ln 4$
   4. $D = \ln\!\big(\mathrm{e}^3\big) + \ln\!\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)$
   Voir un indice

   Utiliser $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$, $\ln(a^n) = n\ln a$ et $\ln(\mathrm{e}) = 1$.

   Voir la correction

   1. $A = \ln\!\left(\dfrac{6}{2}\right) = \ln 3$.
   2. $B = \ln 8 - \ln(2^3) = \ln 8 - \ln 8 = 0$.
   3. $C = \ln(5^2) + \ln 4 = \ln 25 + \ln 4 = \ln 100$. (Soit $\ln 100 = 2\ln 10$.)
   4. $D = 3\ln \mathrm{e} + \ln(\mathrm{e}^{-1}) = 3 - 1 = 2$.
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes.

   1. $\ln x = 3$
   2. $\mathrm{e}^x = 7$
   3. $\ln x \leq 2$
   Voir un indice

   Se souvenir que $\ln$ et $\exp$ sont réciproques : $\ln x = a \iff x = \mathrm{e}^a$ (pour $x > 0$), et $\ln$ est strictement croissante. Attention au domaine de définition $x > 0$.

   Voir la correction

   1. $\ln x = 3 \iff x = \mathrm{e}^3$ (bien défini car $\mathrm{e}^3 > 0$). Solution : $x = \mathrm{e}^3$.
   2. $\mathrm{e}^x = 7 \iff x = \ln 7$. Solution : $x = \ln 7$.
   3. L'inéquation nécessite $x > 0$. Comme $\ln$ est strictement croissante : $\ln x \leq 2 \iff x \leq \mathrm{e}^2$. En tenant compte du domaine : $x \in \,]0 ; \mathrm{e}^2]$.
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = 3\ln x - x$.

   1. Calculer $f'(x)$.
   2. Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
   Voir un indice

   On rappelle que $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$.

   Voir la correction

   1. $f'(x) = \dfrac{3}{x} - 1 = \dfrac{3 - x}{x}$.
   2. Sur $]0 ; +\infty[$, $x > 0$ donc le signe de $f'(x)$ est celui de $3 - x$. Ainsi $f'(x) > 0$ pour $0 < x < 3$ et $f'(x) < 0$ pour $x > 3$. La fonction $f$ est croissante sur $]0 ; 3]$ puis décroissante sur $[3 ; +\infty[$. Elle admet un maximum en $x = 3$, égal à $f(3) = 3\ln 3 - 3$.
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   Déterminer les limites suivantes.

   1. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x$
   2. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln x$
   3. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$
   4. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x$
   Voir un indice

   Les points 3 et 4 relèvent des croissances comparées entre $\ln$ et les puissances de $x$.

   Voir la correction

   1. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$.
   2. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$.
   3. Par croissance comparée, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ (la puissance $x$ « l'emporte » sur $\ln x$).
   4. Par croissance comparée, $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$.
5. 5

   Étude de $\frac{\ln x}{x}$

   Moyen

   Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$.

   1. Calculer $f'(x)$ et étudier les variations de $f$.
   2. Déterminer les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$.
   3. En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x) = \dfrac{1}{4}$ sur $]0 ; +\infty[$.
   Voir un indice

   Utiliser la dérivée d'un quotient. Le maximum de $f$ est atteint en $x = \mathrm{e}$ ; comparer $f(\mathrm{e})$ à $\frac{1}{4}$.

   Voir la correction

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

6. 6

   Équation avec logarithmes

   Moyen

   Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x + 2) + \ln(x - 1) = \ln 4$.

   Voir un indice

   Déterminer d'abord l'ensemble de définition (les deux logarithmes doivent exister), puis utiliser $\ln a + \ln b = \ln(ab)$.

   Voir la correction

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

7. 7

   Croissance d'une population de bactéries

   Moyen

   Une population de bactéries compte initialement $500$ individus et est multipliée par $1{,}2$ chaque heure. Le nombre de bactéries après $t$ heures est $N(t) = 500 \times 1{,}2^{\,t}$.

   1. Au bout de combien d'heures (valeur exacte, puis arrondie) la population atteint-elle au moins $2000$ individus ?
   2. Résoudre l'inéquation $N(t) \geq 2000$ d'inconnue $t$.
   Voir un indice

   Se ramener à $1{,}2^{\,t} \geq 4$ puis appliquer $\ln$, en notant que $\ln(1{,}2) > 0$.

   Voir la correction

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

8. 8

   Fonction puissance

   Difficile

   Pour un réel $\alpha$ fixé, on définit sur $]0 ; +\infty[$ la fonction $f(x) = x^{\alpha} = \mathrm{e}^{\alpha \ln x}$.

   1. Justifier que $f$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ et montrer que $f'(x) = \alpha\, x^{\alpha - 1}$.
   2. Application : calculer la dérivée de $g(x) = x^{\sqrt{2}}$ sur $]0 ; +\infty[$.
   Voir un indice

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

   Voir la correction

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

9. 9

   Vers le nombre $\mathrm{e}$

   Difficile

   On souhaite étudier la limite de $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ quand $n \to +\infty$.

   1. Pour $n \geq 1$, on pose $a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$. Montrer que $\ln(a_n) = n \ln\!\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)$.
   2. On admet que $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(1 + h)}{h} = 1$. En déduire $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \ln(a_n)$.
   3. En déduire $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} a_n$.
   Voir un indice

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

   Voir la correction

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité