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I. Fonction continue

Intuitivement, une fonction est continue si sa courbe se trace sans lever le crayon. Cette image est fidèle, mais la définition passe par les limites, seul outil qui permette de démontrer quelque chose.

DéfinitionContinuité

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est continue en un réel $a$ de $I$ lorsque

\lim_{x \to a} f(x)=f(a)

Elle est continue sur $I$ lorsqu'elle est continue en chaque réel de $I$ .

ThéorèmeDérivabilité et continuité

Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.

La réciproque est fausse : la fonction valeur absolue est continue en $0$ sans y être dérivable, sa courbe présentant un point anguleux.

PropriétéFonctions usuelles

Les fonctions polynômes, la fonction racine carrée, la fonction exponentielle, les fonctions sinus et cosinus sont continues sur leur ensemble de définition.

Les sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues sont continues, sous réserve que les dénominateurs ne s'annulent pas.

En pratique, la continuité se justifie donc en une phrase pour presque toutes les fonctions rencontrées.

Exemple

La fonction partie entière, qui associe à un réel le plus grand entier inférieur ou égal, n'est pas continue en $2$ : sa limite à gauche vaut $1$ alors que sa valeur en $2$ vaut $2$ . Sa courbe présente un saut, ce que la définition traduit exactement.

II. Théorème des valeurs intermédiaires

ThéorèmeThéorème des valeurs intermédiaires

On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a\,;b]$ . Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[a\,;b]$ .

Remarque

Le théorème garantit l'existence d'une solution, pas son unicité, et ne donne aucun moyen de la calculer. Il affirme seulement qu'une courbe continue qui part d'en dessous de la valeur $k$ et arrive au-dessus doit la traverser.

ThéorèmeCas d'une fonction strictement monotone

Si de plus la fonction $f$ est strictement monotone sur $[a\,;b]$ , alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans cet intervalle.

Ce corollaire s'étend aux intervalles ouverts ou infinis, en remplaçant les valeurs aux bornes par les limites correspondantes.

MéthodeRédiger une application du théorème

La rédaction attendue comporte quatre vérifications, et chacune doit apparaître explicitement.

La fonction est continue sur l'intervalle considéré, avec la justification.
Elle y est strictement monotone, ce qui se lit sur le tableau de variations.
La valeur $k$ est comprise entre les valeurs ou limites aux bornes.
Conclusion : l'équation admet une unique solution dans cet intervalle.

Exemple

Étudions l'équation $x^3+x-1=0$ sur $[0\,;1]$ , avec la fonction $f$ définie par $f(x)=x^3+x-1$ .

Cette fonction est un polynôme, donc continue sur $[0\,;1]$ . Sa dérivée vaut $f'(x)=3x^2+1$ , strictement positive, donc $f$ est strictement croissante.

De plus $f(0)=-1$ et $f(1)=1$ , et le réel $0$ est bien compris entre ces deux valeurs.

L'équation admet donc une unique solution dans $[0\,;1]$ .

III. Encadrer la solution

Une fois l'existence et l'unicité établies, il reste à situer la solution. La dichotomie fournit un encadrement aussi précis que voulu, en coupant l'intervalle en deux à chaque étape.

MéthodePrincipe de la dichotomie

On part d'un intervalle $[a\,;b]$ contenant la solution, puis on calcule l'image du milieu $m$ .

Si $f(a)$ et $f(m)$ sont de signes contraires, la solution se trouve dans $[a\,;m]$ ; sinon elle se trouve dans $[m\,;b]$ .

À chaque étape, la longueur de l'intervalle est divisée par deux, ce qui permet d'atteindre rapidement la précision demandée.

ExempleDichotomie en Python

def dichotomie(f, a, b, precision):
    while b - a > precision:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b

La fonction renvoie un encadrement de la solution dont l'amplitude est inférieure à la précision demandée.

Remarque

La calculatrice donne le même résultat par balayage, mais la dichotomie converge bien plus vite : dix étapes divisent l'amplitude par plus de mille.

IV. Suites définies par récurrence

ThéorèmeLimite et continuité

On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et une suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ , dont tous les termes appartiennent à $I$ .

Si la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ de $I$ , alors ce réel vérifie

\ell = f(\ell)

MéthodeÉtudier une suite récurrente

Démontrer par récurrence que tous les termes restent dans un intervalle bien choisi.
Étudier la monotonie de la suite, souvent par récurrence également.
Conclure à la convergence par le théorème de la limite monotone.
Résoudre l'équation $\ell = f(\ell)$ pour identifier la limite, en écartant les solutions incompatibles avec l'encadrement établi.

Exemple

Pour la suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ , la fonction associée est $f(x)=\sqrt{x+2}$ , continue sur $[0\,;+\infty[$ .

En admettant que la suite converge, sa limite $\ell$ vérifie $\ell = \sqrt{\ell+2}$ , donc $\ell^2 = \ell+2$ , équation dont les solutions sont $-1$ et $2$ . Comme tous les termes sont positifs, la limite vaut $2$ .

Attention

L'équation $\ell = f(\ell)$ ne donne la limite que si la convergence a été établie au préalable. Une suite divergente peut très bien conduire à une équation qui possède des solutions, sans qu'aucune ne soit sa limite.

Passer à la pratique

9 exercices corrigés sur ce chapitre.

Continuité

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Fonction continue

II. Théorème des valeurs intermédiaires

III. Encadrer la solution

IV. Suites définies par récurrence