Continuité des fonctions d'une variable réelle

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

   $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x \leq 1, \\ 3x - 1 & \text{si } x > 1. \end{cases}$$

   Étudier la continuité de $f$ en $x = 1$.

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   Comparer $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x)$, $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x)$ et $f(1)$.

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   On a $f(1) = 1^2 + 1 = 2$.

   Limite à gauche : $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (x^2 + 1) = 2$.

   Limite à droite : $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} (3x - 1) = 2$.

   Les deux limites latérales valent $2 = f(1)$, donc $f$ est continue en $x = 1$.

2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse.

   1. Toute fonction continue sur un intervalle est dérivable sur cet intervalle.
   2. Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.
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   Penser à la fonction valeur absolue pour l'une des affirmations, et à un théorème du cours pour l'autre.

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   1. Faux. La fonction $x \mapsto |x|$ est continue sur $\mathbb{R}$ mais n'est pas dérivable en $0$ (les taux d'accroissement à gauche et à droite valent $-1$ et $1$).
   2. Vrai. C'est un théorème du cours : toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue. (La réciproque est fausse, comme le montre le point précédent.)
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que $f(2) = 5$. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2 + \dfrac{1}{n}$ pour $n \geq 1$.

   1. Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n$.
   2. En déduire $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} f(u_n)$.
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   Utiliser le théorème sur l'image d'une suite convergente par une fonction continue.

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   1. $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$.
   2. La suite $(u_n)$ converge vers $2$ et $f$ est continue en $2$. Donc $\big(f(u_n)\big)$ converge vers $f(2)$ : $\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(2) = 5.$
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; 3]$ par $f(x) = x^3 - 2x - 1$. On donne $f(0) = -1$ et $f(3) = 20$.

   1. Justifier que $f$ est continue sur $[0 ; 3]$.
   2. En déduire, à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $[0 ; 3]$.
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   Une fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$. Vérifier que $0$ est compris entre $f(0)$ et $f(3)$.

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   1. $f$ est une fonction polynôme, donc elle est continue sur $\mathbb{R}$, en particulier sur $[0 ; 3]$.
   2. On a $f(0) = -1 < 0$ et $f(3) = 20 > 0$. Le réel $0$ est compris entre $f(0)$ et $f(3)$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, comme $f$ est continue sur $[0 ; 3]$, il existe au moins un réel $c \in [0 ; 3]$ tel que $f(c) = 0$.
5. 5

   Théorème des valeurs intermédiaires

   Moyen

   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + x - 3$.

   1. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
   2. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.
   3. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.
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   Utiliser le corollaire du TVI pour une fonction continue strictement monotone, puis la calculatrice (ou des essais) pour encadrer $\alpha$.

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6. 6

   Limite d'une suite par point fixe

   Moyen

   On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 4$ et, pour tout entier $n$, $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$. On admet que $(u_n)$ est décroissante et minorée par $2$.

   1. Justifier que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.
   2. On pose $f(x) = \sqrt{x + 2}$. Justifier que $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$.
   3. Déterminer la valeur de $\ell$.
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   Une suite décroissante et minorée converge. La limite $\ell$ est un point fixe : $f(\ell) = \ell$ car $f$ est continue.

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7. 7

   Méthode de dichotomie

   Moyen

   Soit $f$ la fonction définie sur $[1 ; 2]$ par $f(x) = x^2 - 2$. On admet que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1 ; 2]$ (il s'agit de $\sqrt{2}$).

   1. Vérifier que $f(1) < 0 < f(2)$.
   2. Appliquer deux étapes de la méthode de dichotomie pour resserrer l'intervalle contenant $\alpha$.
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   À chaque étape, calculer $f$ au milieu de l'intervalle et conserver la moitié aux extrémités de signes contraires.

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8. 8

   Équation fonctionnelle de Cauchy

   Difficile

   Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ vérifiant, pour tous réels $x$ et $y$, $f(x + y) = f(x) + f(y)$. On pose $a = f(1)$.

   1. Calculer $f(0)$.
   2. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $f(n) = na$.
   3. Montrer que $f(-x) = -f(x)$ pour tout réel $x$.
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9. 9

   Prolongement par continuité

   Difficile

   Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ par $g(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$.

   1. Simplifier $g(x)$ pour $x \neq 3$.
   2. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 3} g(x)$.
   3. Peut-on prolonger $g$ par continuité en $3$ ? Si oui, préciser la valeur à choisir pour $g(3)$.
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