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I. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

L'écart type mesure la dispersion, mais sans dire quelle proportion des valeurs s'éloigne réellement de la moyenne. L'inégalité de ce paragraphe donne une réponse valable pour n'importe quelle loi, sans hypothèse supplémentaire.

ThéorèmeInégalité de Bienaymé-Tchebychev

On considère une variable aléatoire $X$ d'espérance $\mu$ et de variance $V(X)$ . Pour tout réel $\delta>0$ :

P\big(|X-\mu| \geqslant \delta\big) \leqslant \frac{V(X)}{\delta^2}

Autrement dit, la probabilité de s'écarter de la moyenne d'au moins $\delta$ est d'autant plus faible que la variance est petite et que $\delta$ est grand.

Exemple

Pour une variable d'espérance $100$ et de variance $25$ , la probabilité de s'écarter d'au moins $20$ de la moyenne vérifie

P\big(|X-100| \geqslant 20\big) \leqslant \frac{25}{400}=0{,}0625

Moins de $7\,\%$ des valeurs sortent donc de l'intervalle $]80\,;120[$ , et ce sans rien savoir de la loi suivie par $X$ .

Remarque

La majoration est volontairement grossière : elle vaut pour toutes les lois, y compris les plus défavorables. Sur un cas concret, la probabilité réelle est souvent bien plus petite que la borne annoncée. C'est le prix de la généralité.

Attention

L'inégalité donne une majoration, jamais une valeur. Écrire « la probabilité vaut $0{,}0625$ » est faux ; elle est inférieure ou égale à ce nombre.

II. Inégalité de concentration

ThéorèmeInégalité de concentration

On considère un échantillon de taille $n$ d'une loi d'espérance $\mu$ et de variance $V$ , et on note $M_n$ la moyenne de cet échantillon. Pour tout réel $\delta>0$ :

P\big(|M_n-\mu| \geqslant \delta\big) \leqslant \frac{V}{n\delta^2}

Démonstration : Obtention de l'inégalité

La moyenne $M_n$ a pour espérance $\mu$ et pour variance $\dfrac{V}{n}$ , comme établi dans le chapitre sur les sommes de variables aléatoires.

Il suffit alors d'appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable $M_n$ :

P\big(|M_n-\mu| \geqslant \delta\big) \leqslant \frac{V(M_n)}{\delta^2}=\frac{V}{n\delta^2}

MéthodeDéterminer une taille d'échantillon

L'énoncé fournit une précision $\delta$ et un risque $\alpha$ à ne pas dépasser. Il s'agit de trouver $n$ tel que

\frac{V}{n\delta^2} \leqslant \alpha \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad n \geqslant \frac{V}{\alpha\,\delta^2}

La réponse est le plus petit entier vérifiant cette inégalité.

ExempleTaille d'un sondage

On veut estimer une proportion inconnue $p$ à $0{,}02$ près, avec un risque d'au plus $5\,\%$ . La variance d'une variable de Bernoulli vaut $p(1-p)$ , qui ne dépasse jamais $0{,}25$ .

n \geqslant \frac{0{,}25}{0{,}05 \times 0{,}02^2}=\frac{0{,}25}{0{,}00002}=12\,500

Un échantillon de $12\,500$ personnes suffit donc à garantir cette précision. Les instituts de sondage annoncent des tailles bien plus faibles, autour de $1\,000$ : ils utilisent des méthodes plus fines, dont l'inégalité de ce chapitre n'est que la version la plus prudente.

III. Loi des grands nombres

ThéorèmeLoi des grands nombres

On considère un échantillon de taille $n$ d'une loi d'espérance $\mu$ et de variance $V$ , de moyenne $M_n$ . Pour tout réel $\delta>0$ :

\lim_{n \to +\infty} P\big(|M_n-\mu| \geqslant \delta\big)=0

Quelle que soit la précision exigée, la probabilité que la moyenne de l'échantillon s'en écarte tend vers zéro lorsque la taille augmente.

Démonstration : De la concentration à la loi des grands nombres

L'inégalité de concentration donne, pour tout entier $n$ non nul :

0 \leqslant P\big(|M_n-\mu| \geqslant \delta\big) \leqslant \frac{V}{n\delta^2}

Les réels $V$ et $\delta$ étant fixés, le majorant tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .

Le théorème des gendarmes permet alors de conclure que la probabilité étudiée tend vers $0$ .

Remarque

Ce théorème justifie enfin ce qui était admis depuis la Seconde : la fréquence observée d'un évènement se rapproche de sa probabilité quand on répète l'expérience. Une fréquence est en effet la moyenne d'un échantillon de variables de Bernoulli.

ExempleObserver la concentration

from random import randint

def moyenne_echantillon(n):
    total = 0
    for i in range(n):
        total = total + randint(1, 6)
    return total / n

Pour $n=10$ , les valeurs obtenues varient beaucoup autour de $3{,}5$ . Pour $n=10\,000$ , elles s'en écartent rarement de plus de quelques centièmes : la concentration se voit directement.

Concentration et loi des grands nombres

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

II. Inégalité de concentration

III. Loi des grands nombres