Concentration, loi des grands nombres

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu=50$ et de variance $V(X)=16$.

   1. Énoncer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
   2. Majorer $P(|X-50|\geq8)$.
   3. Majorer $P(|X-50|\geq10)$.
   4. En déduire une minoration de $P(40<X<60)$.
   Voir un indice

   L'inégalité s'écrit $P(|X-\mu|\geq\delta)\leq\dfrac{V(X)}{\delta^2}$. L'événement $\{40<X<60\}$ est le contraire de $\{|X-50|\geq10\}$.

   Voir la correction

   1. Pour tout réel $\delta>0$ : $P(|X-\mu|\geq\delta)\leq\dfrac{V(X)}{\delta^2}$.

   2. Avec $\delta=8$ : $P(|X-50|\geq8)\leq\dfrac{16}{8^2}=\dfrac{16}{64}=0{,}25$.

   3. Avec $\delta=10$ : $P(|X-50|\geq10)\leq\dfrac{16}{10^2}=\dfrac{16}{100}=0{,}16$.

   4. $\{40<X<60\}=\{|X-50|<10\}$ est le contraire de $\{|X-50|\geq10\}$, donc

   $$P(40<X<60)=1-P(|X-50|\geq10)\geq1-0{,}16=0{,}84.$$
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu=20$ et d'écart type $\sigma=2$ (donc $V(X)=4$).

   1. Majorer $P(|X-20|\geq4)$.
   2. Majorer $P(|X-20|\geq6)$.
   3. Pour quelle valeur de $\delta$ la majoration donnée par l'inégalité vaut-elle $0{,}01$ ?
   Voir un indice

   Utiliser $P(|X-\mu|\geq\delta)\leq\dfrac{V(X)}{\delta^2}$. Pour la question 3, résoudre $\dfrac{4}{\delta^2}=0{,}01$.

   Voir la correction

   1. $P(|X-20|\geq4)\leq\dfrac{4}{4^2}=\dfrac{4}{16}=0{,}25$.

   2. $P(|X-20|\geq6)\leq\dfrac{4}{6^2}=\dfrac{4}{36}=\dfrac19\approx0{,}111$.

   3. On résout $\dfrac{4}{\delta^2}=0{,}01$, soit $\delta^2=\dfrac{4}{0{,}01}=400$, d'où $\delta=20$.

3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Un échantillon $(X_1,\dots,X_n)$ est formé de $n$ variables i.i.d. d'espérance $\mu=5$ et de variance $V=2$. On pose $M_n=\dfrac1n\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_i$.

   1. Rappeler l'inégalité de concentration donnant une majoration de $P(|M_n-\mu|\geq\delta)$.
   2. Pour $n=200$ et $\delta=0{,}5$, calculer la majoration obtenue.
   3. Interpréter le résultat.
   Voir un indice

   L'inégalité de concentration s'écrit $P(|M_n-\mu|\geq\delta)\leq\dfrac{V}{n\delta^2}$.

   Voir la correction

   1. $P(|M_n-\mu|\geq\delta)\leq\dfrac{V}{n\delta^2}$, où $V=V(X_1)$.

   2. Avec $n=200$, $\delta=0{,}5$ et $V=2$ :

   $$P(|M_{200}-5|\geq0{,}5)\leq\frac{2}{200\times0{,}5^2}=\frac{2}{200\times0{,}25}=\frac{2}{50}=0{,}04.$$

   3. La probabilité que la moyenne de l'échantillon s'écarte de $\mu=5$ d'au moins $0{,}5$ est au plus $4\,\%$ : la moyenne est proche de $\mu$ avec une probabilité d'au moins $96\,\%$.
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   On considère la variable aléatoire $M_n$, moyenne d'un échantillon i.i.d. de variance $V=1$ et d'espérance $\mu$.

   1. Énoncer la loi des grands nombres.
   2. Calculer $\dfrac{V}{n\delta^2}$ pour $\delta=0{,}1$ et $n=1000$, puis pour $n=10\,000$.
   3. Que peut-on dire de la limite de $P(|M_n-\mu|\geq0{,}1)$ lorsque $n\to+\infty$ ?
   Voir un indice

   La majoration $\dfrac{V}{n\delta^2}$ tend vers $0$ quand $n\to+\infty$ à $\delta$ fixé : c'est le cœur de la loi des grands nombres.

   Voir la correction

   1. Loi des grands nombres : pour tout $\delta>0$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P(|M_n-\mu|\geq\delta)=0$. Autrement dit, $M_n$ se rapproche de $\mu$ quand $n$ devient grand.

   2. Pour $\delta=0{,}1$, $\delta^2=0{,}01$. Avec $n=1000$ : $\dfrac{1}{1000\times0{,}01}=\dfrac{1}{10}=0{,}1$. Avec $n=10\,000$ : $\dfrac{1}{10\,000\times0{,}01}=\dfrac{1}{100}=0{,}01$.

   3. La majoration tend vers $0$, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P(|M_n-\mu|\geq0{,}1)=0$ : conforme à la loi des grands nombres.

5. 5

   Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

   Moyen

   Une machine produit des pièces dont la longueur $X$ (en mm) a pour espérance $\mu=100$ et pour écart type $\sigma=0{,}5$. Une pièce est jugée conforme si sa longueur est comprise entre $98{,}5$ et $101{,}5$ mm.

   1. Exprimer l'événement « la pièce est non conforme » à l'aide de $|X-100|$.
   2. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer la probabilité qu'une pièce soit non conforme.
   3. En déduire une minoration de la probabilité qu'une pièce soit conforme.
   Voir un indice

   Non conforme signifie $|X-100|\geq1{,}5$. On a $V(X)=\sigma^2=0{,}25$.

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6. 6

   Taille d'échantillon d'un sondage

   Moyen

   Lors d'un sondage, on interroge $n$ personnes choisies au hasard et indépendamment. La proportion réelle de personnes favorables à une mesure est $p=0{,}5$. On note $M_n$ la proportion de personnes favorables dans l'échantillon. On admet que $E(M_n)=p$ et $V(M_n)=\dfrac{p(1-p)}{n}$.

   1. Calculer $V(M_n)$ en fonction de $n$.
   2. On souhaite que $M_n$ estime $p$ à $0{,}02$ près avec un risque d'erreur d'au plus $5\,\%$, c'est-à-dire $P(|M_n-p|\geq0{,}02)\leq0{,}05$. Écrire l'inégalité que doit satisfaire $n$ grâce à l'inégalité de concentration.
   3. En déduire la taille minimale de l'échantillon.
   Voir un indice

   L'inégalité de concentration donne $P(|M_n-p|\geq\delta)\leq\dfrac{p(1-p)}{n\delta^2}$. Il suffit d'imposer $\dfrac{p(1-p)}{n\delta^2}\leq0{,}05$.

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7. 7

   Fréquence et inégalité de concentration

   Moyen

   On lance $n$ fois une pièce équilibrée de manière indépendante. On note $S_n$ le nombre de « Pile » obtenus et $F_n=\dfrac{S_n}{n}$ la fréquence de « Pile ». On rappelle que $S_n\sim\mathcal{B}(n\,;0{,}5)$, donc $E(F_n)=0{,}5$ et $V(F_n)=\dfrac{0{,}25}{n}$.

   1. Majorer $P(|F_n-0{,}5|\geq0{,}1)$ pour $n=100$ à l'aide de l'inégalité de concentration.
   2. Même question pour $n=2500$.
   3. Combien de lancers faut-il pour garantir $P(|F_n-0{,}5|\geq0{,}1)\leq0{,}01$ ?
   4. Que traduit ce résultat au sujet de la fréquence observée ?
   Voir un indice

   Utiliser $P(|F_n-0{,}5|\geq\delta)\leq\dfrac{0{,}25}{n\delta^2}$ avec $\delta=0{,}1$, donc $\delta^2=0{,}01$.

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8. 8

   Estimation et intervalle

   Difficile

   On veut estimer la proportion inconnue $p$ d'électeurs favorables à un candidat au moyen d'un sondage sur $n$ personnes choisies au hasard et indépendamment les unes des autres (tirage assimilable à un tirage avec remise). On note $M_n$ la fréquence observée ; on a $E(M_n)=p$ et $V(M_n)=\dfrac{p(1-p)}{n}$.

   1. Montrer que pour tout $p\in[0\,;1]$, on a $p(1-p)\leq\dfrac14$.
   2. En déduire une majoration de $V(M_n)$ ne dépendant pas de $p$.
   3. À l'aide de l'inégalité de concentration, montrer que $P\!\left(|M_n-p|\geq\delta\right)\leq\dfrac{1}{4n\delta^2}$.
   4. Déterminer $n$ pour garantir une précision $\delta=0{,}03$ avec un risque au plus $0{,}05$, quel que soit $p$.
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9. 9

   Marche aléatoire

   Difficile

   Une particule part de $0$ et effectue $n$ pas indépendants. À chaque pas $i$, elle avance de $+1$ avec probabilité $\tfrac12$ ou de $-1$ avec probabilité $\tfrac12$. On note $Y_i$ le $i$-ème pas et $S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}Y_i$ la position après $n$ pas.

   1. Calculer $E(Y_i)$ et $V(Y_i)$. (On rappelle $V(Y_i)=E(Y_i^2)-\big(E(Y_i)\big)^2$.)
   2. En déduire $E(S_n)$ et $V(S_n)$.
   3. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer $P(|S_n|\geq\delta)$. Application : $n=100$ et $\delta=30$.
   4. En considérant $\dfrac{S_n}{n}$, montrer que la position moyenne par pas tend à se concentrer autour de $0$ quand $n\to+\infty$.
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