Ascension Maths

I. Dérivée d'une fonction composée

DéfinitionComposée de deux fonctions

On considère deux fonctions $u$ et $v$ . La composée de $u$ suivie de $v$ , notée $v \circ u$ , est la fonction définie par

(v \circ u)(x)=v\big(u(x)\big)

Elle applique d'abord $u$ , puis $v$ au résultat obtenu. L'ordre compte : les fonctions $v \circ u$ et $u \circ v$ sont en général différentes.

ThéorèmeDérivée d'une composée

Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$ et $v$ dérivable sur un intervalle contenant les valeurs de $u$ , alors $v \circ u$ est dérivable sur $I$ et

(v \circ u)'=(v' \circ u) \times u'

PropriétéFormules courantes

fonction	dérivée	condition
$u^n$ , $n$ entier	$n\,u^{n-1}u'$
$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$	$u>0$
$\text{e}^{u}$	$u'\,\text{e}^{u}$
$\dfrac{1}{u}$	$-\dfrac{u'}{u^2}$	$u$ ne s'annule pas

Exemple

Pour la fonction définie par $f(x)=\text{e}^{3x^2+1}$ , on pose $u(x)=3x^2+1$ , d'où $u'(x)=6x$ , et

f'(x)=6x\,\text{e}^{3x^2+1}

Comme l'exponentielle est strictement positive, le signe de la dérivée est celui de $6x$ : la fonction décroît sur $]-\infty\,;0]$ puis croît sur $[0\,;+\infty[$ .

Attention

La dérivée d'une composée fait apparaître un facteur $u'$ qu'il est facile d'oublier. Un réflexe de contrôle consiste à vérifier ce facteur avant de passer à l'étude du signe.

II. Dérivée seconde

DéfinitionDérivée seconde

Lorsque la fonction dérivée $f'$ est elle-même dérivable, sa dérivée s'appelle la dérivée seconde de $f$ et se note $f''$ .

La dérivée première décrit la vitesse de variation de $f$ ; la dérivée seconde décrit la vitesse de variation de cette vitesse.

Exemple

Pour la fonction définie par $f(x)=x^3-3x^2+1$ :

f'(x)=3x^2-6x \qquad f''(x)=6x-6

La dérivée seconde s'annule en $1$ en changeant de signe, ce qui aura une interprétation géométrique dans la section suivante.

Remarque

En physique, si la fonction décrit une position au cours du temps, la dérivée première est la vitesse et la dérivée seconde l'accélération. Le vocabulaire du chapitre vient directement de cette lecture.

III. Convexité

DéfinitionFonction convexe, fonction concave

Une fonction $f$ est convexe sur un intervalle $I$ lorsque sa courbe représentative est située en dessous de chacune de ses sécantes sur cet intervalle.

Elle est concave lorsque sa courbe est au-dessus de ses sécantes.

Visuellement, une fonction convexe creuse vers le haut, une fonction concave vers le bas.

ThéorèmeCaractérisations

Pour une fonction $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ , les trois propositions suivantes sont équivalentes :

la fonction $f$ est convexe sur $I$ ;

la fonction dérivée $f'$ est croissante sur $I$ ;

la dérivée seconde $f''$ est positive sur $I$ .

La courbe est alors située au-dessus de chacune de ses tangentes.

Démonstration : Une courbe convexe est au-dessus de ses tangentes

On considère une fonction $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ , avec $f'' \geqslant 0$ , et un réel $a$ de $I$ . La tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .

Étudions la fonction $d$ définie sur $I$ par

d(x)=f(x)-\big(f'(a)(x-a)+f(a)\big)

Sa dérivée vaut $d'(x)=f'(x)-f'(a)$ . Comme $f''$ est positive, la fonction $f'$ est croissante, donc $d'(x) \leqslant 0$ pour $x \leqslant a$ et $d'(x) \geqslant 0$ pour $x \geqslant a$ .

La fonction $d$ décroît donc jusqu'en $a$ , puis croît : elle admet un minimum en $a$ , et ce minimum vaut $d(a)=0$ .

Ainsi $d(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ de $I$ , c'est-à-dire que la courbe de $f$ est au-dessus de sa tangente au point d'abscisse $a$ .

ExempleUne inégalité classique

La fonction exponentielle a pour dérivée seconde elle-même, qui est strictement positive : elle est donc convexe sur $\mathbb{R}$ .

Sa courbe est au-dessus de sa tangente au point d'abscisse $0$ , dont l'équation est $y=x+1$ . On en déduit, pour tout réel $x$ :

\text{e}^x \geqslant x+1

IV. Points d'inflexion

DéfinitionPoint d'inflexion

Un point d'inflexion est un point de la courbe où la fonction change de convexité, c'est-à-dire où elle passe de convexe à concave ou l'inverse.

En un tel point, la tangente traverse la courbe, ce qui se repère bien sur un tracé.

PropriétéCaractérisation

Pour une fonction deux fois dérivable, la courbe admet un point d'inflexion au point d'abscisse $a$ si et seulement si la dérivée seconde $f''$ s'annule en $a$ en changeant de signe.

Attention

L'annulation de la dérivée seconde ne suffit pas. Pour la fonction définie par $f(x)=x^4$ , la dérivée seconde $12x^2$ s'annule en $0$ sans changer de signe : la fonction reste convexe et la courbe n'a pas de point d'inflexion.

Exemple

Reprenons la fonction définie par $f(x)=x^3-3x^2+1$ , de dérivée seconde $f''(x)=6x-6$ .

Cette dérivée seconde est négative sur $]-\infty\,;1]$ et positive sur $[1\,;+\infty[$ : la fonction est concave puis convexe, et la courbe admet un point d'inflexion au point d'abscisse $1$ .

MéthodeLire convexité et inflexion sur un graphique

Sur la courbe de $f$ , la convexité se voit à la forme creusée vers le haut, et le point d'inflexion à l'endroit où le creux change de sens.

Sur la courbe de $f'$ , la convexité de $f$ correspond aux intervalles où $f'$ est croissante.

Sur la courbe de $f''$ , elle correspond aux intervalles où $f''$ est positive, et le point d'inflexion à un changement de signe.

Un exercice fournit l'une des trois courbes et demande des informations sur les autres : identifier laquelle est représentée est la première chose à faire.

Compléments sur la dérivation

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Dérivée d'une fonction composée

II. Dérivée seconde

III. Convexité

IV. Points d'inflexion