Compléments sur la dérivation

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (3x^2 - 5x + 1)^4$. Calculer $f'(x)$ en utilisant la dérivée d'une fonction composée.

   Voir un indice

   On pose $u(x) = 3x^2 - 5x + 1$ et on utilise la formule $\big(u^n\big)' = n\,u'\,u^{\,n-1}$.

   Voir la correction

   On reconnaît $f = u^4$ avec $u(x) = 3x^2 - 5x + 1$, donc $u'(x) = 6x - 5$.

   La formule de dérivation d'une puissance composée donne $\big(u^4\big)' = 4\,u'\,u^3$.

   Ainsi :

   $$f'(x) = 4(6x - 5)(3x^2 - 5x + 1)^3.$$
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \sqrt{x^2 + 1}$.

   1. Justifier que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
   2. Calculer $g'(x)$.
   Voir un indice

   La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$. Utiliser $\big(\sqrt{u}\big)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$.

   Voir la correction

   1. Pour tout réel $x$, on a $x^2 + 1 \geq 1 > 0$. La fonction $u : x \mapsto x^2 + 1$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et strictement positive, et $x \mapsto \sqrt{x}$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$. Par composition, $g = \sqrt{u}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
   2. Avec $u(x) = x^2 + 1$ et $u'(x) = 2x$, la formule $\big(\sqrt{u}\big)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ donne : $g'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}.$
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

   1. Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$.
   2. Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire les intervalles où $f$ est convexe et ceux où $f$ est concave.
   3. Déterminer les coordonnées du point d'inflexion de la courbe.
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   Un point d'inflexion correspond à un changement de convexité, c'est-à-dire à un changement de signe de $f''$.

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   1. $f'(x) = 3x^2 - 6x$ et $f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$.
   2. $f''(x) > 0 \iff x > 1$. Donc $f$ est concave sur $]-\infty ; 1]$ (où $f'' \leq 0$) et convexe sur $[1 ; +\infty[$ (où $f'' \geq 0$).
   3. En $x = 1$, $f''$ change de signe : il y a un point d'inflexion. Comme $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$, ce point a pour coordonnées $(1 ; 0)$.
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente une fonction $f$ deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On sait que $f''(x) = 12x^2 - 12$.

   1. Résoudre l'inéquation $f''(x) \geq 0$.
   2. En déduire la convexité de $f$ et les abscisses des éventuels points d'inflexion.
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   Factoriser $12x^2 - 12$ et étudier le signe d'un trinôme.

   Voir la correction

   1. $f''(x) = 12(x^2 - 1) = 12(x - 1)(x + 1)$. Ce trinôme, de coefficient dominant positif, est positif à l'extérieur de ses racines : $f''(x) \geq 0 \iff x \in ]-\infty ; -1] \cup [1 ; +\infty[$.
   2. $f$ est convexe sur $]-\infty ; -1]$ et sur $[1 ; +\infty[$ (là où $f'' \geq 0$), et concave sur $[-1 ; 1]$. Comme $f''$ change de signe en $x = -1$ et en $x = 1$, la courbe présente deux points d'inflexion, d'abscisses $-1$ et $1$.
5. 5

   Variations et convexité de $x\,e^{-x}$

   Moyen

   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}$.

   1. Calculer $f'(x)$ et étudier les variations de $f$.
   2. Calculer $f''(x)$, étudier sa convexité et préciser le point d'inflexion.
   3. Esquisser l'allure de la courbe.
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   Utiliser la dérivée d'un produit : $(uv)' = u'v + uv'$, puis recommencer pour $f''$.

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6. 6

   Convexité et tangente de $\exp$

   Moyen

   Le but est de démontrer que pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x \geq 1 + x$.

   1. Justifier que la fonction $\exp$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
   2. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $\exp$ au point d'abscisse $0$.
   3. Conclure en utilisant la position d'une courbe convexe par rapport à ses tangentes.
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   Une fonction dont la dérivée seconde est positive est convexe ; sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes.

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7. 7

   Convexité d'une fonction rationnelle

   Moyen

   Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$.

   1. Montrer que $f'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}$.
   2. Calculer $f''(x)$ et en déduire la convexité de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
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   Écrire $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ pour simplifier les dérivations.

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8. 8

   Inégalité arithmético-géométrique

   Difficile

   Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. On admet que la fonction $\ln$ est concave sur $]0 ; +\infty[$ (car $(\ln)'' = -\frac{1}{x^2} < 0$).

   1. En utilisant la concavité de $\ln$, montrer que $\ln\!\left(\dfrac{a + b}{2}\right) \geq \dfrac{\ln a + \ln b}{2}$.
   2. En déduire l'inégalité $\sqrt{ab} \leq \dfrac{a + b}{2}$.
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9. 9

   Dérivée $n$-ième

   Difficile

   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \mathrm{e}^{2x}$. On note $f^{(n)}$ la dérivée $n$-ième de $f$.

   1. Calculer $f'$, $f''$ et $f'''$.
   2. Conjecturer une expression de $f^{(n)}(x)$ pour tout entier $n \geq 1$.
   3. Démontrer cette formule par récurrence.
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