Ascension Maths
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Cours de Terminale

Calcul intégral

L'intégrale comme aire sous la courbe, son calcul par les primitives, ses propriétés, la valeur moyenne et l'intégration par parties.

Avant de commencer

  • •Déterminer une primitive d'une fonction usuelle.
  • •Étudier le signe d'une fonction.

À la fin du chapitre, tu sais

  • •Interpréter une intégrale comme une aire.
  • •Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive.
  • •Utiliser la linéarité, la relation de Chasles et la positivité.
  • •Calculer une valeur moyenne et une aire entre deux courbes.
  • •Mener une intégration par parties.
Sommaire

I. L'intégrale comme aire

Le point de départ est géométrique : mesurer l'aire de la surface comprise entre une courbe et l'axe des abscisses. Le lien avec les primitives, découvert ensuite, transforme ce problème de mesure en un simple calcul.

DéfinitionIntégrale d'une fonction positive

On considère une fonction ff continue et positive sur un intervalle [a ;b][a\,;b]. L'intégrale de ff entre aa et bb, notée

∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

est l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface délimitée par la courbe représentative de ff, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=ax=a et x=bx=b.

ThéorèmeLien avec les primitives

Si ff est continue sur [a ;b][a\,;b] et si FF est une primitive de ff sur cet intervalle, alors

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b)-F(a)

Cette différence se note aussi [F(x)]ab\big[F(x)\big]_a^b. Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie, puisque deux primitives diffèrent d'une constante qui s'élimine dans la soustraction.

Démonstration : La fonction aire est une primitive

On considère une fonction ff continue, positive et croissante sur [a ;b][a\,;b], et on note A(x)\mathcal{A}(x) l'aire sous la courbe entre aa et xx.

Pour un réel h>0h>0 assez petit, l'aire A(x+h)−A(x)\mathcal{A}(x+h)-\mathcal{A}(x) est celle d'une bande de largeur hh. Comme ff est croissante, cette bande contient un rectangle de hauteur f(x)f(x) et est contenue dans un rectangle de hauteur f(x+h)f(x+h) :

h f(x)⩽A(x+h)−A(x)⩽h f(x+h)h\,f(x) \leqslant \mathcal{A}(x+h)-\mathcal{A}(x) \leqslant h\,f(x+h)

En divisant par hh, qui est strictement positif :

f(x)⩽A(x+h)−A(x)h⩽f(x+h)f(x) \leqslant \frac{\mathcal{A}(x+h)-\mathcal{A}(x)}{h} \leqslant f(x+h)

Quand hh tend vers 00, la continuité de ff assure que f(x+h)f(x+h) tend vers f(x)f(x). Le théorème des gendarmes donne alors

A′(x)=f(x)\mathcal{A}'(x)=f(x)

La fonction aire est donc la primitive de ff qui s'annule en aa, et l'aire entre aa et bb vaut F(b)−F(a)F(b)-F(a) pour toute primitive FF.

DéfinitionCas d'une fonction de signe quelconque

Pour une fonction continue de signe quelconque, l'intégrale se définit directement par la formule F(b)−F(a)F(b)-F(a).

Elle s'interprète alors comme une aire algébrique : les portions situées sous l'axe des abscisses comptent négativement.

Exemple
∫02x2 dx=[x33]02=83−0=83\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}-0=\frac{8}{3}

II. Propriétés de l'intégrale

PropriétéLinéarité et Chasles

Pour deux fonctions continues ff et gg et deux réels λ\lambda et μ\mu :

∫ab(λf(x)+μg(x)) dx=λ∫abf(x) dx+μ∫abg(x) dx\int_a^b \big(\lambda f(x)+\mu g(x)\big)\,\mathrm{d}x = \lambda\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x+\mu\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x ∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x+\int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x

De plus, ∫aaf(x) dx=0\displaystyle\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x=0 et ∫baf(x) dx=−∫abf(x) dx\displaystyle\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.

PropriétéPositivité et comparaison

Si ff est positive sur [a ;b][a\,;b] avec a⩽ba \leqslant b, alors son intégrale est positive.

Si f(x)⩽g(x)f(x) \leqslant g(x) sur [a ;b][a\,;b], alors

∫abf(x) dx⩽∫abg(x) dx\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x

Cette propriété sert à encadrer une intégrale que l'on ne sait pas calculer, en encadrant d'abord la fonction.

DéfinitionValeur moyenne

La valeur moyenne d'une fonction continue ff sur [a ;b][a\,;b], avec a<ba<b, est le nombre

μ=1b−a∫abf(x) dx\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

C'est la hauteur du rectangle de base [a ;b][a\,;b] ayant la même aire que la surface sous la courbe.

MéthodeAire entre deux courbes

Si f(x)⩾g(x)f(x) \geqslant g(x) sur [a ;b][a\,;b], l'aire comprise entre les deux courbes vaut

∫ab(f(x)−g(x)) dx\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x

La première étape consiste donc à déterminer laquelle des deux courbes est au-dessus, en étudiant le signe de la différence. Si les courbes se croisent, il faut découper l'intervalle avec la relation de Chasles.

Exemple

Cherchons l'aire entre les courbes d'équations y=xy=x et y=x2y=x^2 sur [0 ;1][0\,;1]. Sur cet intervalle, x2⩽xx^2 \leqslant x, donc l'aire vaut

∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01=12−13=16\int_0^1 (x-x^2)\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}

III. Intégration par parties

ThéorèmeFormule

On considère deux fonctions uu et vv dérivables sur [a ;b][a\,;b], de dérivées continues. Alors

∫abu(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x) dx\int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = \big[u(x)v(x)\big]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x
Démonstration : Intégration par parties

La dérivée du produit uvuv vaut

(uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'

Toutes ces fonctions étant continues, on peut intégrer chaque membre entre aa et bb. Le membre de gauche donne, puisque uvuv est une primitive de (uv)′(uv)' :

∫ab(uv)′(x) dx=[u(x)v(x)]ab\int_a^b (uv)'(x)\,\mathrm{d}x = \big[u(x)v(x)\big]_a^b

Le membre de droite se sépare par linéarité :

∫abu′(x)v(x) dx+∫abu(x)v′(x) dx\int_a^b u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x+\int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x

En égalant les deux et en isolant la seconde intégrale, on obtient la formule annoncée.

MéthodeChoisir uu et v′v'

Le choix doit simplifier l'intégrale restante. La règle pratique consiste à prendre pour uu la fonction qui se simplifie en dérivant, par exemple un polynôme ou un logarithme, et pour v′v' celle qui s'intègre facilement, comme une exponentielle ou une fonction trigonométrique.

Un mauvais choix se repère vite : l'intégrale obtenue est plus compliquée que celle de départ. Il suffit alors de recommencer en échangeant les rôles.

Exemple

Calculons ∫01x ex dx\displaystyle\int_0^1 x\,\text{e}^{x}\,\mathrm{d}x.

Posons u(x)=xu(x)=x et v′(x)=exv'(x)=\text{e}^{x}, d'où u′(x)=1u'(x)=1 et v(x)=exv(x)=\text{e}^{x}.

∫01x ex dx=[x ex]01−∫01ex dx=e−[ex]01=e−(e−1)=1\int_0^1 x\,\text{e}^{x}\,\mathrm{d}x = \big[x\,\text{e}^{x}\big]_0^1-\int_0^1 \text{e}^{x}\,\mathrm{d}x = \text{e}-\big[\text{e}^{x}\big]_0^1=\text{e}-(\text{e}-1)=1

IV. Calcul approché

Beaucoup de fonctions n'ont pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles. L'aire se calcule alors par approximation, en remplaçant la surface par une réunion de rectangles ou de trapèzes.

ExempleMéthode des rectangles
def rectangles(f, a, b, n):
    pas = (b - a) / n
    somme = 0
    for i in range(n):
        somme = somme + f(a + i * pas) * pas
    return somme

L'intervalle est découpé en nn morceaux, chacun remplacé par un rectangle. Plus nn est grand, meilleure est l'approximation.

Remarque

La méthode des trapèzes remplace chaque rectangle par un trapèze appuyé sur les deux extrémités du morceau : elle converge nettement plus vite pour un même nombre de découpages.

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