Calcul intégral

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Calculer les intégrales suivantes :

   1. $\displaystyle\int_{0}^{2}(3x^2 - 2x)\,\mathrm{d}x$ ;
   2. $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ ;
   3. $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin(x)\,\mathrm{d}x$.
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   On détermine une primitive $F$ de la fonction, puis on calcule $F(b) - F(a)$. Une primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln(x)$.

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   1. Une primitive de $3x^2 - 2x$ est $x^3 - x^2$. Donc

   $$\int_{0}^{2}(3x^2-2x)\,\mathrm{d}x = \big[x^3 - x^2\big]_0^2 = (8 - 4) - 0 = 4.$$

   2. Une primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln(x)$. Donc

   $$\int_{1}^{\mathrm{e}}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \big[\ln(x)\big]_1^{\mathrm{e}} = \ln(\mathrm{e}) - \ln(1) = 1 - 0 = 1.$$

   3. Une primitive de $\sin(x)$ est $-\cos(x)$. Donc

   $$\int_{0}^{\pi}\sin(x)\,\mathrm{d}x = \big[-\cos(x)\big]_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) + 1 = 2.$$
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;\,3]$ par $f(x) = x + 1$.

   1. Interpréter $\displaystyle\int_{0}^{3}f(x)\,\mathrm{d}x$ comme une aire.
   2. Calculer cette aire de deux façons : par une primitive, puis en utilisant l'aire d'un trapèze.
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   Le domaine sous la courbe de $f$ (positive ici) entre $x=0$ et $x=3$ est un trapèze de hauteur $3$, de bases $f(0)=1$ et $f(3)=4$.

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   1. Comme $f(x) = x+1 \geq 0$ sur $[0\,;\,3]$, l'intégrale $\int_0^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ est l'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=3$.

   2. Par une primitive : une primitive de $x+1$ est $\frac{x^2}{2} + x$. Donc

   $$\int_0^3 (x+1)\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{2} + x\right]_0^3 = \left(\frac{9}{2} + 3\right) - 0 = \frac{15}{2} = 7{,}5.$$

   Par le trapèze : bases $f(0) = 1$ et $f(3) = 4$, hauteur $3$. Aire $= \dfrac{(1+4)}{2}\times 3 = \dfrac{15}{2} = 7{,}5$. Les deux méthodes concordent.

3. 3

   Exercice 3

   Facile

   En utilisant la linéarité et la relation de Chasles, calculer :

   1. $\displaystyle\int_{0}^{1}\big(2\mathrm{e}^x + 3x^2\big)\,\mathrm{d}x$ ;
   2. $\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x$ sachant que $\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x = 5$ et $\displaystyle\int_{1}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x = -2$.
   Voir un indice

   La linéarité permet de séparer l'intégrale en somme et de sortir les constantes. La relation de Chasles donne $\int_0^2 = \int_0^1 + \int_1^2$.

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   1. Par linéarité :

   $$\int_0^1 \big(2\mathrm{e}^x + 3x^2\big)\,\mathrm{d}x = 2\int_0^1\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x + 3\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = 2\big[\mathrm{e}^x\big]_0^1 + 3\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1.$$

   Cela donne $2(\mathrm{e} - 1) + 3\times\frac{1}{3} = 2\mathrm{e} - 2 + 1 = 2\mathrm{e} - 1$.

   2. Par la relation de Chasles :

   $$\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x + \int_1^2 f(x)\,\mathrm{d}x = 5 + (-2) = 3.$$
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f(x) = x^2$ sur l'intervalle $[0\,;\,3]$.

   Voir un indice

   La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ est $\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$.

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   La valeur moyenne est

   $$\mu = \frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{1}{3}\times\frac{27}{3} = \frac{1}{3}\times 9 = 3.$$

   La valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;\,3]$ est donc $\mu = 3$.

5. 5

   Aire entre deux courbes

   Moyen

   On considère les fonctions $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$ sur l'intervalle $[0\,;\,1]$.

   1. Étudier le signe de $g(x) - f(x)$ sur $[0\,;\,1]$.
   2. En déduire l'aire $\mathcal{A}$, en unités d'aire, du domaine compris entre les deux courbes sur $[0\,;\,1]$.
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   L'aire entre deux courbes est $\int_a^b \big(\text{courbe du haut} - \text{courbe du bas}\big)\,\mathrm{d}x$. Ici $g(x)-f(x) = x - x^2 = x(1-x)$.

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6. 6

   Intégration par parties

   Moyen

   À l'aide d'une intégration par parties, calculer

   $$I = \int_{1}^{\mathrm{e}} x\ln(x)\,\mathrm{d}x.$$
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   Poser $u(x) = \ln(x)$ et $v'(x) = x$, donc $u'(x) = \frac{1}{x}$ et $v(x) = \frac{x^2}{2}$. Utiliser $\int_a^b uv' = [uv]_a^b - \int_a^b u'v$.

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7. 7

   Étude d'une fonction intégrale

   Moyen

   Soit $F$ la fonction définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x}\frac{t}{t^2+1}\,\mathrm{d}t$.

   1. Justifier que $F$ est dérivable et calculer $F'(x)$.
   2. En déduire le sens de variation de $F$.
   3. Calculer $F(x)$ explicitement, puis $F(1)$.
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   La fonction $t\mapsto\frac{t}{t^2+1}$ est continue ; sa primitive s'annulant en $0$ est $F$, donc $F'(x) = \frac{x}{x^2+1}$. Reconnaître ensuite une forme $\frac{u'}{u}$ (à un facteur près).

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   Pour tout entier $n\geq 0$, on pose

   $$I_n = \int_{0}^{1} x^n\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x.$$

   1. Calculer $I_0$.
   2. À l'aide d'une intégration par parties, établir la relation de récurrence $I_n = \mathrm{e} - n\,I_{n-1}$ pour $n\geq 1$.
   3. En déduire $I_1$ et $I_2$.
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   On veut encadrer la somme harmonique $H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ à l'aide d'intégrales.

   1. Justifier que pour tout entier $k\geq 1$ et tout $x\in[k\,;\,k+1]$, on a $\dfrac{1}{k+1}\leq\dfrac{1}{x}\leq\dfrac{1}{k}$.
   2. En intégrant sur $[k\,;\,k+1]$, montrer que $\dfrac{1}{k+1}\leq\displaystyle\int_{k}^{k+1}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\leq\frac{1}{k}$.
   3. En sommant pour $k$ de $1$ à $n$, en déduire l'encadrement $\ln(n+1)\leq H_n \leq 1 + \ln(n).$
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