Ascension Maths

I. Les ensembles de nombres

Un ensemble est une collection d'objets, appelés ses éléments. En mathématiques, les objets manipulés au lycée sont le plus souvent des nombres, et on les range dans cinq ensembles emboîtés les uns dans les autres.

DéfinitionLes cinq ensembles usuels

notation	nom	exemples
$\mathbb{N}$	entiers naturels	$0$ , $7$ , $2026$
$\mathbb{Z}$	entiers relatifs	$-5$ , $0$ , $12$
$\mathbb{D}$	nombres décimaux	$-1{,}25$ , $3$ , $0{,}007$
$\mathbb{Q}$	nombres rationnels	$\dfrac{2}{3}$ , $-\dfrac{7}{4}$ , $0{,}5$
$\mathbb{R}$	nombres réels	tous les précédents, ainsi que $\sqrt{2}$ et $\pi$

Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Un nombre rationnel est un quotient de deux entiers. Les nombres réels sont tous les nombres qui repèrent un point d'une droite graduée.

PropriétéEmboîtement

Ces ensembles sont inclus les uns dans les autres :

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Autrement dit, tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif est un décimal, et ainsi de suite.

DéfinitionAppartenance et inclusion

Le symbole $\in$ relie un élément à un ensemble : la phrase « $-3 \in \mathbb{Z}$ » se lit « $-3$ appartient à $\mathbb{Z}$ ».

Le symbole $\subset$ relie deux ensembles : la phrase « $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ » se lit « $\mathbb{N}$ est inclus dans $\mathbb{Z}$ », ce qui signifie que chaque élément de $\mathbb{N}$ est aussi un élément de $\mathbb{Z}$ .

L'ensemble qui ne contient aucun élément est l'ensemble vide, noté $\varnothing$ .

Attention

Les deux symboles ne sont pas interchangeables. On écrit $2 \in \mathbb{N}$ et non $2 \subset \mathbb{N}$ , car $2$ est un nombre, pas un ensemble. À l'inverse, on écrit $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$ et non $\mathbb{N} \in \mathbb{R}$ .

Exemple

Le nombre $\dfrac{6}{3}$ vaut $2$ : il appartient donc à $\mathbb{N}$ , même si son écriture ressemble à celle d'une fraction. Le nombre $\sqrt{2}$ , lui, appartient à $\mathbb{R}$ mais pas à $\mathbb{Q}$ : aucun quotient d'entiers ne lui est égal.

II. Réunion, intersection, complémentaire

DéfinitionLes trois opérations

On considère deux ensembles $A$ et $B$ .

La réunion $A \cup B$ est l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$ (éventuellement aux deux).

L'intersection $A \cap B$ est l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ et à $B$ .

Si $A$ est inclus dans un ensemble $E$ , le complémentaire de $A$ dans $E$ , noté $\overline{A}$ ou $E \setminus A$ , est l'ensemble des éléments de $E$ qui n'appartiennent pas à $A$ .

Remarque

Le « ou » des mathématiques est inclusif : il n'exclut pas que les deux conditions soient vraies en même temps. C'est une différence avec l'usage courant, où « fromage ou dessert » sous-entend que l'on ne prendra pas les deux.

DéfinitionCardinal

Lorsqu'un ensemble $A$ contient un nombre fini d'éléments, ce nombre s'appelle le cardinal de $A$ et se note $\text{Card}(A)$ .

Exemple

On pose $A=\{1\,;2\,;3\,;4\}$ et $B=\{3\,;4\,;5\}$ . Alors

A \cup B = \{1\,;2\,;3\,;4\,;5\} \qquad A \cap B = \{3\,;4\}

et $\text{Card}(A)=4$ , $\text{Card}(A \cap B)=2$ .

DéfinitionCouple et produit cartésien

Un couple $(x\,;y)$ est la donnée de deux objets dans un ordre précis : les couples $(1\,;2)$ et $(2\,;1)$ sont différents.

Le produit cartésien $A \times B$ est l'ensemble de tous les couples dont le premier terme appartient à $A$ et le second à $B$ . Les coordonnées d'un point du plan sont un couple de $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ , ensemble que l'on note $\mathbb{R}^2$ .

III. Les intervalles

Certaines parties de $\mathbb{R}$ reviennent sans arrêt : celles qui correspondent à un morceau de la droite graduée, sans trou. Ces parties portent un nom et une notation propres.

DéfinitionNotation des intervalles

On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a \leqslant b$ .

notation	ensemble des réels $x$ tels que
$[a\,;b]$	$a \leqslant x \leqslant b$
$]a\,;b[$	$a < x < b$
$[a\,;b[$	$a \leqslant x < b$
$[a\,;+\infty[$	$x \geqslant a$
$]-\infty\,;b]$	$x \leqslant b$

Un crochet tourné vers l'intérieur signifie que la borne est comprise, un crochet tourné vers l'extérieur qu'elle est exclue.

Attention

Les symboles $-\infty$ et $+\infty$ ne sont pas des nombres : aucun réel ne leur est égal. Le crochet qui les accompagne est donc toujours ouvert, et l'on écrit $[3\,;+\infty[$ , jamais $[3\,;+\infty]$ .

Exemple

L'ensemble des solutions de l'inéquation $x > 5$ est l'intervalle $]5\,;+\infty[$ . L'ensemble des réels compris entre $-2$ (compris) et $7$ (exclu) est l'intervalle $[-2\,;7[$ .

MéthodeRéunion ou intersection de deux intervalles

La démarche la plus sûre passe par un dessin : tracer une droite graduée, hachurer chacun des deux intervalles sur deux lignes différentes, puis lire le résultat. L'intersection est la zone couverte deux fois, la réunion la zone couverte au moins une fois.

Par exemple, $[-1\,;4] \cap [2\,;9[ \;=\; [2\,;4]$ et $[-1\,;4] \cup [2\,;9[ \;=\; [-1\,;9[$ .

IV. Propositions et connecteurs

DéfinitionProposition

Une proposition mathématique est une phrase dont on peut dire, sans ambiguïté, si elle est vraie ou fausse. La phrase « $7$ est un nombre pair » est une proposition (fausse). La phrase « $x+1$ » n'en est pas une : ce n'est pas une affirmation.

DéfinitionConnecteurs « et » et « ou »

On considère deux propositions $P$ et $Q$ .

La proposition « $P$ et $Q$ » est vraie lorsque les deux le sont en même temps.

La proposition « $P$ ou $Q$ » est vraie dès que l'une au moins des deux l'est.

PropriétéNégation

La négation d'une proposition $P$ est la proposition qui est vraie exactement quand $P$ est fausse. Deux règles reviennent souvent :

la négation de « $P$ et $Q$ » est « (non $P$ ) ou (non $Q$ ) » ;
la négation de « $P$ ou $Q$ » est « (non $P$ ) et (non $Q$ ) ».

Exemple

La négation de « $x \geqslant 3$ » est « $x < 3$ », et non « $x \leqslant 3$ ». La négation de « le nombre $n$ est pair et positif » est « le nombre $n$ est impair ou strictement négatif ».

Remarque

Les quantificateurs se lisent en français au programme de Seconde. « Pour tout réel $x$ … » annonce une propriété valable sans exception, « il existe un réel $x$ tel que… » annonce qu'au moins un cas convient. Les symboles $\forall$ et $\exists$ ne sont pas exigibles cette année.

V. Implication et équivalence

DéfinitionImplication

La proposition « $P \Rightarrow Q$ », lue « $P$ implique $Q$ », signifie que chaque fois que $P$ est vraie, $Q$ l'est aussi. On dit aussi que $P$ est une condition suffisante pour $Q$ , et que $Q$ est une condition nécessaire à $P$ .

DéfinitionRéciproque et contraposée

La réciproque de l'implication « $P \Rightarrow Q$ » est l'implication « $Q \Rightarrow P$ ». Les deux n'ont aucune raison d'être vraies en même temps.

La contraposée de « $P \Rightarrow Q$ » est l'implication « (non $Q$ ) $\Rightarrow$ (non $P$ ) ». Celle-ci, en revanche, est toujours équivalente à l'implication de départ.

Exemple

Prenons l'implication « si un quadrilatère est un carré, alors c'est un rectangle ». Elle est vraie.

Sa réciproque, « si un quadrilatère est un rectangle, alors c'est un carré », est fausse.

Sa contraposée, « si un quadrilatère n'est pas un rectangle, alors ce n'est pas un carré », est vraie, comme l'implication de départ.

DéfinitionÉquivalence

Lorsque l'implication « $P \Rightarrow Q$ » et sa réciproque « $Q \Rightarrow P$ » sont toutes les deux vraies, on écrit « $P \Leftrightarrow Q$ » et on dit que les deux propositions sont équivalentes. On dit aussi que $P$ est vraie si et seulement si $Q$ l'est.

Attention

Enchaîner des équivalences dans la résolution d'une équation demande de la prudence. Passer de $x = 2$ à $x^2 = 4$ est une implication, pas une équivalence, puisque $x=-2$ convient aussi pour la seconde égalité.

VI. Trois façons de raisonner

MéthodeLe contre-exemple

Pour montrer qu'une proposition annoncée « pour tout… » est fausse, un seul cas qui la met en défaut suffit. Ce cas s'appelle un contre-exemple.

La proposition « pour tout réel $x$ , on a $x^2 \geqslant x$ » est fausse : le réel $x = 0{,}5$ donne $x^2 = 0{,}25$ , qui est plus petit que $0{,}5$ .

MéthodeLa disjonction des cas

Quand une propriété ne se traite pas de la même façon selon la situation, on découpe le problème en cas qui couvrent toutes les possibilités, et on traite chacun séparément.

Pour étudier le signe de $|x|$ , on distingue ainsi le cas $x \geqslant 0$ , où $|x| = x$ , et le cas $x < 0$ , où $|x| = -x$ .

MéthodeLe raisonnement par l'absurde

Pour démontrer qu'une proposition est vraie, on suppose le contraire, puis on en tire une contradiction. Comme le contraire mène à l'impossible, la proposition de départ est vraie.

Démonstration : Un exemple de raisonnement par l'absurde

Montrons qu'un nombre entier $n$ dont le carré est pair est lui-même pair.

Supposons le contraire : $n$ est impair. Il s'écrit alors $n = 2k+1$ pour un certain entier $k$ , et

n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+2k)+1

Le nombre $n^2$ est donc impair, ce qui contredit l'hypothèse de départ. La supposition était fausse, donc $n$ est pair.

Vocabulaire ensembliste et logique

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Les ensembles de nombres

II. Réunion, intersection, complémentaire

III. Les intervalles

IV. Propositions et connecteurs

V. Implication et équivalence

VI. Trois façons de raisonner