Chapitres de Seconde

Vocabulaire ensembliste et logique

1
Exercice 1
Facile
On considère l'ensemble $E = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ , ainsi que ses sous-ensembles $A = \{0,2,4,6,8\}$ et $B = \{1,2,3,4,5\}$ .
1. Compléter avec le symbole $\in$ ou $\notin$ : $\quad 3 \ \dots\ A$ , $\quad 3 \ \dots\ B$ , $\quad 8 \ \dots\ B$ .
2. L'affirmation $A \subset E$ est-elle vraie ? Justifier.
3. Déterminer $A \cap B$ et $A \cup B$ .
4. Déterminer le complémentaire $\overline{A}$ de $A$ dans $E$ .
5. Donner $\mathrm{Card}(A)$ et $\mathrm{Card}(B)$ .
Voir un indice
L'intersection $\cap$ contient les éléments communs, la réunion $\cup$ contient tous les éléments de l'un ou l'autre. Le complémentaire $\overline{A}$ est formé des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$ .
Voir la correction
1. $3 \notin A$ (les éléments de $A$ sont pairs), $\ 3 \in B$ , $\ 8 \notin B$ .
2. Vrai : tous les éléments de $A$ (à savoir $0,2,4,6,8$ ) appartiennent à $E$ , donc $A \subset E$ .
3. Les éléments communs sont $2$ et $4$ , donc $A \cap B = \{2,4\}$ . La réunion regroupe tous les éléments : $A \cup B = \{0,1,2,3,4,5,6,8\}$ .
4. Les éléments de $E$ absents de $A$ sont $1,3,5,7,9$ , donc $\overline{A} = \{1,3,5,7,9\}$ .
5. $\mathrm{Card}(A) = 5$ et $\mathrm{Card}(B) = 5$ .
2
Exercice 2
Facile
On travaille dans l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels. On pose les intervalles $I = [-3\,;\,5[$ et $J = \ ]1\,;\,8]$ .
1. Le nombre $5$ appartient-il à $I$ ? à $J$ ?
2. Déterminer $I \cap J$ et $I \cup J$ .
3. Déterminer le complémentaire de $I$ dans $\mathbb{R}$ .
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Un crochet tourné vers l'extérieur exclut la borne. Pour l'intersection d'intervalles, on peut s'aider d'un axe gradué.
Voir la correction
1. Dans $I = [-3\,;\,5[$ la borne $5$ est exclue, donc $5 \notin I$ . Dans $J = \ ]1\,;\,8]$ la borne $8$ est incluse et $5$ est bien entre $1$ et $8$ , donc $5 \in J$ .
2. L'intersection est l'ensemble des réels appartenant aux deux intervalles : $I \cap J = \ ]1\,;\,5[$ . La réunion est $I \cup J = [-3\,;\,8]$ .
3. Le complémentaire de $I$ dans $\mathbb{R}$ est $\ ]-\infty\,;\,-3[\ \cup\ [5\,;\,+\infty[$ .
3
Exercice 3
Facile
1. Parmi les phrases suivantes, indiquer lesquelles sont des propositions mathématiques (auxquelles on peut attribuer une valeur vraie ou fausse) :
(a) « $7$ est un nombre pair » ; \quad (b) « $x + 1$ » ; \quad (c) « pour tout réel $x$ , $x^2 \ge 0$ ».
1. Écrire la négation de la propriété (portant sur l'entier $n$ ) : « L'entier $n$ est pair et $n$ est supérieur à $5$ ».
2. Donner un contre-exemple à la proposition : « Tout nombre entier est divisible par $2$ ».
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La négation de « et » est « ou », et l'on nie chaque morceau. Un contre-exemple est un seul cas particulier qui rend la proposition fausse.
Voir la correction
1. (a) est une proposition (elle est d'ailleurs fausse). (b) n'est pas une proposition : « $x+1$ » est une expression, pas une phrase que l'on peut déclarer vraie ou fausse. (c) est une proposition (elle est vraie).
2. La négation est : « L'entier $n$ est impair ou $n$ est inférieur ou égal à $5$ ».
3. L'entier $3$ n'est pas divisible par $2$ : c'est un contre-exemple, donc la proposition est fausse.
4
Exercice 4
Facile
On considère les ensembles $A = \{1,2\}$ et $B = \{a,b,c\}$ .
1. Rappeler ce qu'est un couple, puis écrire tous les éléments du produit cartésien $A \times B$ .
2. Combien d'éléments possède $A \times B$ ? Vérifier la relation $\mathrm{Card}(A \times B) = \mathrm{Card}(A) \times \mathrm{Card}(B)$ .
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Un couple $(x\,;\,y)$ est ordonné : $(1\,;\,a)$ et $(a\,;\,1)$ ne se confondent pas. On associe à chaque élément de $A$ chacun des éléments de $B$ .
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1. Un couple $(x\,;\,y)$ est la donnée ordonnée de deux éléments, un premier $x$ et un second $y$ . On obtient : $A \times B = \{(1\,;\,a),\,(1\,;\,b),\,(1\,;\,c),\,(2\,;\,a),\,(2\,;\,b),\,(2\,;\,c)\}.$
2. Il y a $6$ couples. Or $\mathrm{Card}(A) = 2$ et $\mathrm{Card}(B) = 3$ , et $2 \times 3 = 6$ : la relation est bien vérifiée.
5
Réciproque et contraposée d'une implication
Moyen
On considère la proposition $P$ : « Si $x = 2$ , alors $x^2 = 4$ ».
1. La proposition $P$ est-elle vraie ?
2. Énoncer la réciproque de $P$ et dire si elle est vraie ou fausse (justifier).
3. Énoncer la contraposée de $P$ et préciser sa valeur de vérité.
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La réciproque de « si $A$ alors $B$ » est « si $B$ alors $A$ ». La contraposée est « si (non $B$ ) alors (non $A$ ) » : elle a toujours la même valeur de vérité que la proposition de départ.
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6
Preuve par disjonction de cas
Moyen
Le but est de montrer, par disjonction de cas, la proposition suivante :

« Pour tout entier naturel $n$ , le produit $n(n+1)$ est pair ».
1. Traiter le cas où $n$ est pair.
2. Traiter le cas où $n$ est impair.
3. Conclure.
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Un entier pair s'écrit $2k$ , un entier impair s'écrit $2k+1$ , avec $k$ entier. Un produit est pair dès que l'un de ses facteurs l'est.
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7
Intersection, union et complémentaire d'intervalles
Moyen
Dans $\mathbb{R}$ , on pose $A = [-2\,;\,3]$ et $B = \ ]0\,;\,+\infty[$ .
1. Déterminer $A \cap B$ et $A \cup B$ .
2. Déterminer le complémentaire $\overline{A}$ de $A$ dans $\mathbb{R}$ .
3. Décrire par un intervalle l'ensemble des réels $x$ tels que $x \in A$ et $x \notin B$ .
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Représenter les deux intervalles sur un même axe. « $x \in A$ et $x \notin B$ » signifie $x \in A \cap \overline{B}$ .
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8
Exercice 8
Difficile
Dans une classe de $30$ élèves, $18$ étudient l'anglais, $15$ étudient l'espagnol et $7$ étudient les deux langues. On note $A$ l'ensemble des élèves étudiant l'anglais et $S$ celui des élèves étudiant l'espagnol.
1. Traduire les données à l'aide de $\mathrm{Card}(A)$ , $\mathrm{Card}(S)$ et $\mathrm{Card}(A \cap S)$ .
2. En observant qu'en additionnant $\mathrm{Card}(A)$ et $\mathrm{Card}(S)$ on compte deux fois les élèves de $A \cap S$ , déterminer $\mathrm{Card}(A \cup S)$ .
3. En déduire le nombre d'élèves qui n'étudient aucune de ces deux langues.
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9
Exercice 9
Difficile
On souhaite démontrer, par un raisonnement par l'absurde, la proposition :

« Il n'existe pas de plus grand entier naturel ».
1. Écrire l'hypothèse de départ du raisonnement par l'absurde (la négation de la proposition à démontrer).
2. À partir de cet entier supposé maximal, construire un entier strictement plus grand.
3. Conclure.
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Vocabulaire ensembliste et logique

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Réciproque et contraposée d'une implication

Preuve par disjonction de cas

Intersection, union et complémentaire d'intervalles

Exercice 8

Exercice 9