Ascension Maths

I. La notion de vecteur

Un déplacement dans le plan se décrit par trois informations : une direction, un sens et une longueur. Le vecteur est l'objet mathématique qui rassemble ces trois données, indépendamment de l'endroit où le déplacement commence.

DéfinitionVecteur et représentants

On considère deux points $A$ et $B$ du plan. Le vecteur $\vec{AB}$ est le déplacement qui transforme $A$ en $B$ .

Deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. On dit alors que $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont deux représentants du même vecteur, souvent noté $\vec{u}$ .

Le vecteur $\vec{AA}$ , qui ne déplace rien, s'appelle le vecteur nul et se note $\vec{0}$ .

PropriétéÉgalité de vecteurs et parallélogramme

L'égalité $\vec{AB}=\vec{CD}$ équivaut à dire que le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme, éventuellement aplati.

Attention à l'ordre des lettres : c'est bien $ABDC$ , et non $ABCD$ .

DéfinitionSomme de deux vecteurs

La somme de deux vecteurs correspond à l'enchaînement des deux déplacements. Elle obéit à la relation de Chasles :

\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}

Lorsque les deux vecteurs partent du même point, la somme se construit avec la règle du parallélogramme : le vecteur somme est la diagonale issue de ce point.

DéfinitionProduit par un réel

On considère un vecteur $\vec{u}$ non nul et un réel $k$ non nul. Le vecteur $k\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$ , une longueur multipliée par $|k|$ , et le même sens que $\vec{u}$ si $k>0$ , le sens opposé si $k<0$ .

II. Coordonnées dans un repère

Le plan est muni d'un repère orthonormé, c'est-à-dire d'une origine et de deux axes perpendiculaires gradués avec la même unité. Chaque vecteur y possède alors deux coordonnées, et les constructions géométriques deviennent des calculs.

PropriétéCoordonnées et calculs

On considère deux points $A\,(x_A\,;y_A)$ et $B\,(x_B\,;y_B)$ , deux vecteurs $\vec{u}\,(x\,;y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;y')$ , et un réel $k$ .

\vec{AB}\;\begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix} \qquad \vec{u}+\vec{v}\;\begin{pmatrix} x+x' \\ y+y' \end{pmatrix} \qquad k\vec{u}\;\begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales une à une.

PropriétéNorme et milieu

Dans un repère orthonormé, la longueur du vecteur $\vec{u}\,(x\,;y)$ , appelée sa norme, vaut

\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}

La distance entre $A$ et $B$ est la norme de $\vec{AB}$ :

AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées

I\left(\frac{x_A+x_B}{2}\;;\;\frac{y_A+y_B}{2}\right)

Exemple

On prend $A\,(1\,;2)$ et $B\,(4\,;6)$ . Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(3\,;4)$ , la distance $AB$ vaut $\sqrt{9+16}=5$ , et le milieu de $[AB]$ est le point de coordonnées $(2{,}5\,;4)$ .

Attention

La formule de la norme suppose un repère orthonormé. Dans un repère quelconque, elle ne s'applique pas, car le théorème de Pythagore qui la justifie n'est plus disponible.

III. Colinéarité et déterminant

DéfinitionVecteurs colinéaires

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires lorsqu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v}=k\vec{u}$ , ou lorsque l'un des deux est le vecteur nul. Géométriquement, deux vecteurs colinéaires ont la même direction.

DéfinitionDéterminant

Le déterminant des vecteurs $\vec{u}\,(x\,;y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;y')$ est le nombre

\det(\vec{u},\vec{v}) = xy'-yx'

PropriétéCritère de colinéarité

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :

\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colinéaires} \quad \Longleftrightarrow \quad xy'-yx'=0

Démonstration : Colinéarité et déterminant nul

On considère deux vecteurs non nuls $\vec{u}\,(x\,;y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;y')$ .

Supposons d'abord les deux vecteurs colinéaires. Il existe alors un réel $k$ tel que $x'=kx$ et $y'=ky$ , donc

xy'-yx' = x(ky)-y(kx) = kxy-kxy = 0

Réciproquement, supposons $xy'-yx'=0$ . Le vecteur $\vec{u}$ étant non nul, l'une de ses coordonnées ne l'est pas non plus, par exemple $x \neq 0$ . En posant $k=\dfrac{x'}{x}$ , l'égalité $xy'=yx'$ donne

y'=\frac{yx'}{x}=ky \qquad \text{et} \qquad x'=kx

Les coordonnées de $\vec{v}$ sont donc celles de $k\vec{u}$ , ce qui prouve la colinéarité. Le raisonnement est le même si c'est $y$ qui est non nul.

MéthodeAlignement et parallélisme

Trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires.

Dans les deux cas, le calcul est le même : coordonnées des deux vecteurs, puis déterminant.

Exemple

On prend $A\,(1\,;1)$ , $B\,(3\,;5)$ et $C\,(6\,;11)$ . Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ont pour coordonnées $(2\,;4)$ et $(5\,;10)$ , et

\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 2\times 10 - 4 \times 5 = 0

Les trois points sont donc alignés.

Vecteurs et problèmes de géométrie

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. La notion de vecteur

II. Coordonnées dans un repère

III. Colinéarité et déterminant