Ascension Maths
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Chapitres de Seconde

Vecteurs et problèmes de géométrie

  1. 1

    Exercice 1

    Facile

    Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; ı⃗,ȷ⃗)(O\,;\,\vec{\imath},\vec{\jmath}). On considère les points A(1 ; 2)A(1\,;\,2) et B(4 ; 6)B(4\,;\,6).

    1. Calculer les coordonnées du vecteur AB⃗\vec{AB}.
    2. Calculer la norme ∥AB⃗∥\lVert \vec{AB}\rVert, c'est-à-dire la distance ABAB.
    3. Placer le point CC tel que AC⃗=AB⃗\vec{AC}=\vec{AB} n'a de sens qu'avec C=BC=B ; on demande plutôt les coordonnées du point DD tel que OD⃗=AB⃗\vec{OD}=\vec{AB}.
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    Pour deux points A(xA ; yA)A(x_A\,;\,y_A) et B(xB ; yB)B(x_B\,;\,y_B), on a AB⃗ (xB−xA ; yB−yA)\vec{AB}\,(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A) et ∥AB⃗∥=(xB−xA)2+(yB−yA)2\lVert\vec{AB}\rVert=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.

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    1. AB⃗ (4−1 ; 6−2)=(3 ; 4)\vec{AB}\,(4-1\,;\,6-2)=(3\,;\,4).

    2. ∥AB⃗∥=32+42=9+16=25=5\lVert\vec{AB}\rVert=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. Donc AB=5AB=5.

    3. Le point DD vérifie OD⃗=AB⃗=(3 ; 4)\vec{OD}=\vec{AB}=(3\,;\,4). Or OD⃗\vec{OD} a pour coordonnées celles de DD. Donc D(3 ; 4)D(3\,;\,4).

  2. 2

    Exercice 2

    Facile

    On donne les vecteurs u⃗ (2 ; −3)\vec{u}\,(2\,;\,-3) et v⃗ (−1 ; 4)\vec{v}\,(-1\,;\,4). Calculer les coordonnées des vecteurs suivants :

    u⃗+v⃗,3 u⃗,2 u⃗−v⃗.\vec{u}+\vec{v},\qquad 3\,\vec{u},\qquad 2\,\vec{u}-\vec{v}.
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    On additionne (ou soustrait) les vecteurs coordonnée par coordonnée, et on multiplie chaque coordonnée par le réel.

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    u⃗+v⃗ (2+(−1) ; −3+4)=(1 ; 1)\vec{u}+\vec{v}\,(2+(-1)\,;\,-3+4)=(1\,;\,1).

    3 u⃗ (3×2 ; 3×(−3))=(6 ; −9)3\,\vec{u}\,(3\times 2\,;\,3\times(-3))=(6\,;\,-9).

    2 u⃗ (4 ; −6)2\,\vec{u}\,(4\,;\,-6) et v⃗ (−1 ; 4)\vec{v}\,(-1\,;\,4), donc 2 u⃗−v⃗ (4−(−1) ; −6−4)=(5 ; −10)2\,\vec{u}-\vec{v}\,(4-(-1)\,;\,-6-4)=(5\,;\,-10).

  3. 3

    Exercice 3

    Facile

    On considère les points A(−2 ; 3)A(-2\,;\,3) et B(4 ; −1)B(4\,;\,-1).

    1. Déterminer les coordonnées du milieu II du segment [AB][AB].
    2. Rappeler la caractérisation vectorielle du milieu II et vérifier qu'elle est satisfaite.
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    Le milieu II de [AB][AB] a pour coordonnées (xA+xB2 ; yA+yB2)\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right). Il vérifie IA⃗+IB⃗=0⃗\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}.

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    1. I(−2+42 ; 3+(−1)2)=(22 ; 22)=(1 ; 1)I\left(\dfrac{-2+4}{2}\,;\,\dfrac{3+(-1)}{2}\right)=\left(\dfrac{2}{2}\,;\,\dfrac{2}{2}\right)=(1\,;\,1).

    2. II est le milieu de [AB][AB] si et seulement si IA⃗+IB⃗=0⃗\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0} (de façon équivalente AI⃗=IB⃗\vec{AI}=\vec{IB}). On a IA⃗ (−2−1 ; 3−1)=(−3 ; 2)\vec{IA}\,(-2-1\,;\,3-1)=(-3\,;\,2) et IB⃗ (4−1 ; −1−1)=(3 ; −2)\vec{IB}\,(4-1\,;\,-1-1)=(3\,;\,-2). Donc IA⃗+IB⃗=(−3+3 ; 2+(−2))=(0 ; 0)=0⃗\vec{IA}+\vec{IB}=(-3+3\,;\,2+(-2))=(0\,;\,0)=\vec{0}. La caractérisation est bien vérifiée.

  4. 4

    Exercice 4

    Facile

    On donne u⃗ (3 ; −6)\vec{u}\,(3\,;\,-6), v⃗ (−2 ; 4)\vec{v}\,(-2\,;\,4) et w⃗ (1 ; 3)\vec{w}\,(1\,;\,3).

    1. Calculer le déterminant de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}. Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?
    2. Calculer le déterminant de u⃗\vec{u} et w⃗\vec{w}. Conclure.
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    Le déterminant de u⃗ (x ; y)\vec{u}\,(x\,;\,y) et v⃗ (x′ ; y′)\vec{v}\,(x'\,;\,y') est det⁡(u⃗,v⃗)=xy′−yx′\det(\vec{u},\vec{v})=xy'-yx'. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.

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    1. det⁡(u⃗,v⃗)=3×4−(−6)×(−2)=12−12=0\det(\vec{u},\vec{v})=3\times 4-(-6)\times(-2)=12-12=0. Le déterminant est nul, donc u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires (en effet v⃗=−23u⃗\vec{v}=-\tfrac{2}{3}\vec{u}).

    2. det⁡(u⃗,w⃗)=3×3−(−6)×1=9+6=15≠0\det(\vec{u},\vec{w})=3\times 3-(-6)\times 1=9+6=15\neq 0. Le déterminant est non nul, donc u⃗\vec{u} et w⃗\vec{w} ne sont pas colinéaires.

  5. 5

    Alignement de points par le déterminant

    Moyen

    Dans un repère, on considère les points A(1 ; 2)A(1\,;\,2), B(3 ; 5)B(3\,;\,5) et C(5 ; 8)C(5\,;\,8).

    1. Calculer les coordonnées de AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC}.
    2. À l'aide d'un déterminant, démontrer que les points AA, BB et CC sont alignés.
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    Trois points AA, BB, CC sont alignés si et seulement si les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} sont colinéaires, c'est-à-dire det⁡(AB⃗,AC⃗)=0\det(\vec{AB},\vec{AC})=0.

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  6. 6

    Quatrième sommet d'un parallélogramme

    Moyen

    On considère les points A(1 ; 1)A(1\,;\,1), B(4 ; 2)B(4\,;\,2) et C(5 ; 5)C(5\,;\,5). Déterminer les coordonnées du point DD tel que ABCDABCD soit un parallélogramme.

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    ABCDABCD est un parallélogramme si et seulement si AB⃗=DC⃗\vec{AB}=\vec{DC}. On peut alors exprimer DD à partir de CC et de AB⃗\vec{AB}.

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  7. 7

    Nature d'un triangle par les longueurs

    Moyen

    On considère les points A(1 ; 2)A(1\,;\,2), B(5 ; 4)B(5\,;\,4) et C(3 ; 6)C(3\,;\,6).

    1. Calculer les longueurs ABAB, BCBC et ACAC.
    2. En déduire la nature du triangle ABCABC.
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    Utiliser la formule de la distance AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} pour chacun des trois côtés, puis comparer les longueurs.

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  8. 8

    Exercice 8

    Difficile

    On considère le triangle ABCABC avec A(0 ; 0)A(0\,;\,0), B(6 ; 0)B(6\,;\,0) et C(0 ; 6)C(0\,;\,6). On appelle GG l'isobarycentre des points AA, BB et CC, c'est-à-dire le point vérifiant GA⃗+GB⃗+GC⃗=0⃗\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}.

    1. Montrer que les coordonnées de GG sont G(xA+xB+xC3 ; yA+yB+yC3)G\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\,;\,\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right) et les calculer.
    2. Soit A′A' le milieu de [BC][BC]. Vérifier que GG appartient à la médiane (AA′)(AA') en montrant que AG⃗=23 AA′⃗\vec{AG}=\dfrac{2}{3}\,\vec{AA'}.
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  9. 9

    Exercice 9

    Difficile

    On considère les points A(1 ; 1)A(1\,;\,1), B(5 ; 2)B(5\,;\,2) et C(2 ; 6)C(2\,;\,6). On admet que l'aire du triangle ABCABC est donnée par

    A=12 ∣det⁡(AB⃗,AC⃗)∣.\mathcal{A}=\frac{1}{2}\,\bigl|\det(\vec{AB},\vec{AC})\bigr|.
    1. Calculer les coordonnées de AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC}, puis l'aire du triangle ABCABC.
    2. On admet aussi que A=12 AB×AC×sin⁡(BAC^)\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\,AB\times AC\times \sin(\widehat{BAC}). Sachant que AB=17AB=\sqrt{17} et AC=26AC=\sqrt{26}, en déduire une valeur approchée de sin⁡(BAC^)\sin(\widehat{BAC}).
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