Variations et extrémums

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=mx+p$ et deux réels $a$ et $b$ tels que $a \leqslant b$. La différence des images vaut

$$f(b)-f(a) = (mb+p)-(ma+p) = m\,(b-a)$$

Le facteur $b-a$ est positif par hypothèse. Le signe de la différence est donc celui de $m$.

Si $m>0$, alors $f(b)-f(a) \geqslant 0$, donc $f(a) \leqslant f(b)$ : la fonction est croissante. Si $m<0$, l'inégalité s'inverse et la fonction est décroissante.

On note $f$ la fonction carré et on considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a \leqslant b$. Alors

$$f(b)-f(a)=b^2-a^2=(b-a)(b+a)$$

Le facteur $b-a$ est positif. Le signe de la différence est donc celui de $a+b$.

Sur $[0\,;+\infty[$, les deux réels sont positifs, donc $a+b \geqslant 0$ et la différence est positive : la fonction est croissante.

Sur $]-\infty\,;0]$, les deux réels sont négatifs, donc $a+b \leqslant 0$ et la différence est négative : la fonction est décroissante.

On note $f$ la fonction inverse et on considère deux réels non nuls $a$ et $b$ de même signe, avec $a \leqslant b$. Alors

$$f(b)-f(a)=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{a-b}{ab}$$

Le numérateur $a-b$ est négatif. Comme $a$ et $b$ sont de même signe, le produit $ab$ est strictement positif, donc le quotient est négatif.

Ainsi $f(b) \leqslant f(a)$ : la fonction inverse est décroissante sur chacun des deux intervalles.

On compare les deux expressions en étudiant le signe de leur différence, pour $x \geqslant 0$ :

$$x^2-x = x\,(x-1)$$

Le facteur $x$ est positif. Le facteur $x-1$ est négatif pour $x$ entre $0$ et $1$, positif ensuite.

Sur $[0\,;1]$, la différence est donc négative : la courbe d'équation $y=x^2$ est en dessous de la droite d'équation $y=x$. Sur $[1\,;+\infty[$, elle passe au-dessus. Les deux courbes se coupent aux points d'abscisses $0$ et $1$.