Chapitres de Seconde

Variations et extrémums d'une fonction

1
Exercice 1
Facile
On considère la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -2x + 5$ .
1. Donner le coefficient directeur $m$ et l'ordonnée à l'origine $p$ .
2. En déduire, en justifiant, le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
3. Calculer le taux d'accroissement de $f$ entre $x=1$ et $x=4$ .
Voir un indice
Pour $f(x)=mx+p$ : $f$ est croissante si $m>0$ , décroissante si $m<0$ . Le taux d'accroissement entre $a$ et $b$ est $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ et vaut toujours $m$ .
Voir la correction
1. $m = -2$ et $p = 5$ .
2. Comme $m = -2 < 0$ , la fonction affine $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ .
3. $f(1) = 3$ et $f(4) = -3$ , donc le taux vaut $\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1} = \dfrac{-3-3}{3} = \dfrac{-6}{3} = -2$ . On retrouve bien $m = -2$ .
2
Exercice 2
Facile
Le tableau de variations ci-dessous décrit une fonction $f$ définie sur $[-3\,;\,5]$ .
$\begin{array}{c|ccccc} x & -3 & & 1 & & 5 \\ \hline & 4 & & & & 6 \\ f & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & -2 & & \end{array}$
1. Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ? croissante ?
2. Donner le minimum de $f$ sur $[-3\,;\,5]$ et la valeur où il est atteint.
3. Comparer $f(-3)$ et $f(5)$ .
Voir un indice
Une flèche $\searrow$ indique une décroissance, $\nearrow$ une croissance. Le minimum est la plus petite valeur atteinte par $f$ ; le maximum la plus grande.
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1. $f$ est décroissante sur $[-3\,;\,1]$ et croissante sur $[1\,;\,5]$ .
2. Le minimum de $f$ est $-2$ , atteint en $x = 1$ .
3. D'après le tableau, $f(-3) = 4$ et $f(5) = 6$ , donc $f(-3) < f(5)$ .
3
Exercice 3
Facile
On s'intéresse à la fonction carré $f(x) = x^2$ .
1. Rappeler le sens de variation de $f$ sur $]-\infty\,;\,0]$ puis sur $[0\,;\,+\infty[$ .
2. Quel est le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ ? En quelle valeur est-il atteint ?
3. Sans calculatrice, comparer $f(-7)$ et $f(3)$ .
Voir un indice
La fonction carré est décroissante sur les négatifs et croissante sur les positifs. Pour comparer, on peut aussi comparer les carrés directement, ou utiliser $|-7|$ et $|3|$ .
Voir la correction
1. $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .
2. Le minimum est $0$ , atteint en $x = 0$ (car $x^2 \ge 0$ pour tout $x$ , avec égalité seulement en $0$ ).
3. $f(-7) = 49$ et $f(3) = 9$ , donc $f(-7) > f(3)$ .
4
Exercice 4
Facile
Voici trois fonctions affines : $f(x) = 3x - 1$ , \quad $g(x) = -x + 4$ , \quad $h(x) = 2$ .
1. Pour chacune, préciser le sens de variation.
2. Résoudre $f(x) = 0$ et préciser le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$ .
3. Parmi $f$ , $g$ , $h$ , laquelle est constante ?
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Relier le signe du coefficient directeur au sens de variation. Pour le signe d'une fonction affine, repérer sa racine puis appliquer la règle : signe de $m$ après la racine.
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1. $f$ a pour coefficient $3>0$ : croissante. $g$ a pour coefficient $-1<0$ : décroissante. $h$ a un coefficient nul : constante (ni croissante stricte, ni décroissante).
2. $f(x) = 0 \iff 3x - 1 = 0 \iff x = \dfrac{1}{3}$ . Comme $m=3>0$ , $f(x) < 0$ pour $x < \tfrac13$ et $f(x) > 0$ pour $x > \tfrac13$ .
3. C'est $h$ qui est constante (égale à $2$ ).
5
Variations de $f(x)=|x-3|$
Moyen
On considère la fonction $f(x) = |x - 3|$ définie sur $\mathbb{R}$ .
1. Écrire $f(x)$ sans valeur absolue en distinguant les cas $x \ge 3$ et $x < 3$ .
2. En déduire le sens de variation de $f$ sur $]-\infty\,;\,3]$ et sur $[3\,;\,+\infty[$ .
3. Dresser le tableau de variations et donner le minimum de $f$ .
Voir un indice
Par définition, $|x-3| = x-3$ si $x-3 \ge 0$ et $|x-3| = -(x-3) = 3-x$ sinon. Sur chaque morceau, $f$ est affine.
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6
Aire maximale d'un rectangle
Moyen
Un rectangle a un périmètre fixé de $24$ cm. On note $x$ la longueur d'un côté (en cm).
1. Exprimer la largeur en fonction de $x$ , puis montrer que l'aire est $A(x) = x(12 - x)$ .
2. Préciser l'intervalle des valeurs possibles pour $x$ .
3. Calculer $A(3)$ , $A(6)$ et $A(9)$ . Pour quelle valeur de $x$ l'aire semble-t-elle maximale ?
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Le demi-périmètre vaut $12$ , donc longueur + largeur $= 12$ . L'aire d'un rectangle est le produit de ses deux côtés. Tester la symétrie du problème autour de $x=6$ .
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7
Variations de la fonction inverse
Moyen
On considère la fonction inverse $f(x) = \dfrac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .
1. Donner le sens de variation de $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$ puis sur $]-\infty\,;\,0[$ .
2. Soient $a$ et $b$ tels que $0 < a < b$ . Démontrer que $f(a) > f(b)$ en étudiant le signe de $f(a) - f(b)$ .
3. En déduire la comparaison de $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{5}$ .
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Calculer $f(a) - f(b) = \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}$ et le mettre au même dénominateur. Étudier le signe du numérateur et du dénominateur sachant $0<a<b$ .
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8
Démonstration : variations d'une fonction affine
Difficile
Soit $f(x) = mx + p$ avec $m > 0$ .
1. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ . Calculer et simplifier $f(b) - f(a)$ .
2. En déduire le signe de $f(b) - f(a)$ , puis conclure sur le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
3. Que se passe-t-il si $m < 0$ ? Adapter le raisonnement.
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9
Position relative des courbes $y = x$ et $y = x^2$ sur $[0\,;\,+\infty[$
Difficile
On pose $d(x) = x - x^2$ .
1. Factoriser $d(x)$ .
2. Dresser le tableau de signes de $d(x)$ sur $[0\,;\,+\infty[$ .
3. En déduire, selon les valeurs de $x \ge 0$ , la position de la droite $y = x$ par rapport à la parabole $y = x^2$ .
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Variations et extrémums d'une fonction

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Variations de f(x)=∣x−3∣f(x)=|x-3|f(x)=∣x−3∣

Aire maximale d'un rectangle

Variations de la fonction inverse

Démonstration : variations d'une fonction affine

Position relative des courbes y=xy = xy=x et y=x2y = x^2y=x2 sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[[0;+∞[

Variations de $f(x)=|x-3|$

Position relative des courbes $y = x$ et $y = x^2$ sur $[0\,;\,+\infty[$