I. Fonction, image, antécédent
Une fonction associe à chaque nombre d'un ensemble un unique nombre noté , appelé image de par . L'ensemble s'appelle l'ensemble de définition de la fonction.
Lorsqu'un nombre vérifie , on dit que est un antécédent de par .
Un nombre possède au plus une image, mais il peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun. C'est asymétrique, et c'est ce qui distingue une fonction d'une correspondance quelconque.
Deux interdits reviennent en Seconde : un dénominateur ne doit pas s'annuler, et l'expression sous une racine carrée doit rester positive ou nulle. L'ensemble de définition est donc l'ensemble des réels qui respectent ces contraintes.
Par exemple, la fonction définie par a pour ensemble de définition .
La courbe représentative de est l'ensemble des points du plan de coordonnées , lorsque parcourt l'ensemble de définition. On dit que cette courbe a pour équation .
Un point appartient à cette courbe si et seulement si .
On considère la fonction définie par . Le point appartient à sa courbe, car . Le point ne lui appartient pas.
II. Les fonctions de référence
Cinq fonctions reviennent si souvent qu'il faut connaître leur courbe de mémoire. Les reconnaître d'un coup d'œil fait gagner un temps considérable.
| fonction | ensemble de définition | allure de la courbe |
|---|---|---|
| une droite | ||
| une parabole, sommet à l'origine | ||
| courbe symétrique par rapport à l'origine | ||
| et | une hyperbole, deux branches | |
| demi-branche partant de l'origine |
La fonction valeur absolue complète cette liste : sa courbe forme un V dont la pointe est à l'origine.
Les fonctions carré et valeur absolue sont positives sur et ne s'annulent qu'en .
La fonction cube et la fonction inverse ont le même signe que : négatives pour , positives pour .
La fonction racine carrée est positive sur son ensemble de définition.
Une fonction affine s'annule en et change de signe à cet endroit ; le sens du changement dépend du signe de .
III. Résoudre équations et inéquations
Pour résoudre , on trace la droite horizontale d'équation et on lit les abscisses des points d'intersection avec la courbe représentative de .
Pour résoudre , on repère les portions de courbe situées sous cette droite horizontale, puis on lit les abscisses correspondantes.
Pour résoudre , on cherche les abscisses des points communs aux deux courbes ; pour , les abscisses où la courbe de passe sous celle de .
Une lecture graphique donne des valeurs approchées et ne remplace pas une démonstration. Lorsque l'énoncé demande des valeurs exactes, il faut résoudre par le calcul.
Pour résoudre lorsque est un produit ou un quotient, on utilise un tableau de signes : valeurs qui annulent chaque facteur, signes de chaque facteur ligne par ligne, puis produit des signes colonne par colonne.
L'ensemble des solutions se lit alors directement sur la dernière ligne du tableau.
Résolvons . Comme est strictement positif, l'équation admet deux solutions, et .
Résolvons maintenant . La courbe de la fonction carré passe sous la droite entre les deux solutions précédentes, donc l'ensemble des solutions est l'intervalle .
Résolvons . La valeur est exclue, et l'équation donne .
Pour l'inéquation , il faut penser aux valeurs négatives : la fonction inverse y est négative, donc inférieure à . L'ensemble des solutions est .
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