Ascension Maths

I. Le modèle probabiliste

DéfinitionUnivers et évènements

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles sans pouvoir prévoir lequel se produira. L'ensemble de ces résultats, appelés issues, forme l'univers, noté $\Omega$ .

Un évènement est un ensemble d'issues. L'évènement contraire de $A$ , noté $\overline{A}$ , est constitué des issues qui ne sont pas dans $A$ .

DéfinitionLoi de probabilité

Définir une loi de probabilité, c'est attribuer à chaque issue un nombre compris entre $0$ et $1$ , de sorte que la somme de tous ces nombres vaille $1$ .

La probabilité d'un évènement $A$ , notée $P(A)$ , est la somme des probabilités des issues qui le composent.

PropriétéRègles de calcul

On considère deux évènements $A$ et $B$ .

P(\overline{A}) = 1-P(A)

P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)

La soustraction du dernier terme évite de compter deux fois les issues communes aux deux évènements.

PropriétéSituation d'équiprobabilité

Lorsque toutes les issues ont la même probabilité, la situation est dite équiprobable, et

P(A)=\frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}

c'est-à-dire le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles.

Exemple

On lance un dé équilibré à six faces. L'univers est $\Omega=\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}$ et chaque issue a pour probabilité $\dfrac{1}{6}$ .

L'évènement « obtenir un nombre pair » contient trois issues, donc sa probabilité vaut $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ .

Attention

L'équiprobabilité est une hypothèse sur l'expérience, pas une règle générale. Un dé pipé ou une roue déséquilibrée ont un univers identique, mais une loi de probabilité différente, et la formule des cas favorables ne s'y applique pas.

II. Fréquence observée et probabilité

La probabilité est un nombre théorique, la fréquence un résultat d'expérience. Le lien entre les deux est ce qui rend le modèle utile.

PropriétéLoi des grands nombres

Lorsqu'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire, de façon indépendante, la fréquence observée d'un évènement est, sauf exception, proche de sa probabilité.

ExempleObserver la loi par simulation

from random import randint

def frequence_de_six(n):
    compteur = 0
    for i in range(n):
        if randint(1, 6) == 6:
            compteur = compteur + 1
    return compteur / n

Pour $n=100$ , la fréquence obtenue varie sensiblement d'une exécution à l'autre. Pour $n=100\,000$ , elle se rapproche de $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$ et fluctue beaucoup moins.

Remarque

La loi des grands nombres ne dit rien sur le prochain tirage. Après cinq « pile » consécutifs, la pièce reste équilibrée et la probabilité d'obtenir « pile » au sixième lancer vaut toujours $\dfrac{1}{2}$ .

III. Probabilités conditionnelles

DéfinitionProbabilité de

B

sachant

A

On considère deux évènements $A$ et $B$ , avec $P(A) \neq 0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ , notée $P_A(B)$ , est la probabilité que $B$ se réalise lorsqu'on sait déjà que $A$ est réalisé :

P_A(B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}

Calculer une probabilité conditionnelle revient à changer de population de référence : on ne travaille plus dans l'univers entier, mais à l'intérieur de $A$ .

PropriétéProbabilité d'une intersection

En multipliant les deux membres de la définition par $P(A)$ :

P(A \cap B)=P(A) \times P_A(B)

ExempleLecture dans un tableau

Sur $200$ élèves, $135$ sont demi-pensionnaires, dont $54$ en Seconde. En choisissant un élève au hasard, on note $D$ l'évènement « l'élève est demi-pensionnaire » et $S$ l'évènement « l'élève est en Seconde ».

P_D(S)=\frac{54}{135}=0{,}4

Un tableau croisé se lit donc directement en probabilités conditionnelles, à condition de choisir la bonne ligne ou la bonne colonne comme dénominateur.

Attention

Les probabilités $P_A(B)$ et $P_B(A)$ sont deux nombres différents. La probabilité qu'un test soit positif sachant que la personne est malade n'a rien à voir avec la probabilité qu'une personne soit malade sachant que son test est positif. C'est le piège classique des faux positifs, et il coûte cher quand on le manque.

IV. Les arbres pondérés

DéfinitionConstruction et lecture

Un arbre pondéré représente une expérience en plusieurs étapes. Chaque branche porte une probabilité, et les branches issues d'un même nœud correspondent à toutes les possibilités à ce stade.

Les branches du premier niveau portent des probabilités simples. Celles des niveaux suivants portent des probabilités conditionnelles, sachant le chemin déjà parcouru.

PropriétéLes deux règles

La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$ .

La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.

ExempleDeux tirages successifs

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules vertes. On tire une boule, on la garde, puis on en tire une seconde.

Au premier tirage, la probabilité d'obtenir une rouge vaut $\dfrac{3}{5}$ .

Sachant que la première boule était rouge, il reste $2$ rouges et $2$ vertes, donc la probabilité d'obtenir une seconde rouge vaut $\dfrac{2}{4}$ .

La probabilité de tirer deux rouges est le produit des deux :

\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = 0{,}3

MéthodeRédiger avec un arbre

La rédaction attendue comporte trois éléments : nommer les évènements par des lettres, dessiner l'arbre en indiquant toutes les probabilités des branches, puis écrire le calcul en repartant de ces valeurs.

Un arbre non légendé, sans les évènements nommés, ne vaut pas grand-chose au moment de la correction.

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9 exercices corrigés sur ce chapitre.

Probabilités

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Le modèle probabiliste

II. Fréquence observée et probabilité

III. Probabilités conditionnelles

IV. Les arbres pondérés