Probabilités

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   On lance un dé équilibré à six faces $1000$ fois. On obtient $172$ fois le nombre $6$.

   1. Calculer la fréquence d'apparition du $6$ sur ces $1000$ lancers.
   2. Quelle est la probabilité théorique d'obtenir un $6$ ?
   3. Ces deux valeurs sont-elles cohérentes ? Expliquer à l'aide de la loi des grands nombres.
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   La fréquence est le nombre de succès divisé par le nombre de lancers. La loi des grands nombres dit que, pour un grand nombre d'expériences, la fréquence observée est en général proche de la probabilité.

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   1. Fréquence : $\dfrac{172}{1000} = 0{,}172$.
   2. Le dé est équilibré : $P(6) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$.
   3. Les valeurs $0{,}172$ et $0{,}167$ sont très proches. D'après la loi des grands nombres, quand le nombre de lancers est grand, la fréquence observée est (sauf exception) proche de la probabilité théorique : c'est bien le cas ici.
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Dans une classe de $30$ élèves, on croise le sexe et le port de lunettes :

   	Lunettes	Sans lunettes	Total
   Filles	$8$	$10$	$18$
   Garçons	$2$	$10$	$12$
   Total	$10$	$20$	$30$

   On choisit un élève au hasard. On note $A$ : « l'élève est une fille » et $B$ : « l'élève porte des lunettes ».

   1. Calculer $P(A)$ et $P(B)$.
   2. Calculer $P_A(B)$, la probabilité que l'élève porte des lunettes sachant que c'est une fille.
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   Dans une situation d'équiprobabilité, $P_A(B)$ se lit dans le tableau : effectif « $A$ et $B$ » divisé par l'effectif de $A$.

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   1. $P(A) = \dfrac{18}{30} = 0{,}6$ et $P(B) = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333$.
   2. Parmi les $18$ filles, $8$ portent des lunettes : $P_A(B) = \dfrac{8}{18} = \dfrac{4}{9} \approx 0{,}444$.
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules vertes. On tire successivement et sans remise deux boules.

   1. Construire l'arbre pondéré de cette expérience (deux tirages).
   2. Calculer la probabilité de tirer deux boules rouges.
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   Au premier tirage, il y a $5$ boules ; au second, il n'en reste que $4$, et la composition dépend de la première boule tirée. On multiplie les probabilités le long du chemin.

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   Arbre (R = rouge, V = verte) :

   • $1^{\text{er}}$ tirage : $P(R) = \dfrac{3}{5}$ ; $P(V) = \dfrac{2}{5}$.
   • Après R : il reste $2$ R et $2$ V, donc $P_R(R) = \dfrac{2}{4}$, $P_R(V) = \dfrac{2}{4}$.
   • Après V : il reste $3$ R et $1$ V, donc $P_V(R) = \dfrac{3}{4}$, $P_V(V) = \dfrac{1}{4}$.

   Probabilité de deux rouges (chemin R puis R) :

   $$P(\text{RR}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0{,}3.$$
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   Le matin, un élève va au lycée en bus avec une probabilité de $0{,}7$ (sinon il y va à pied). Quand il prend le bus, il est à l'heure avec une probabilité de $0{,}9$. Quand il va à pied, il est à l'heure avec une probabilité de $0{,}8$.

   1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
   2. Calculer la probabilité qu'il prenne le bus et qu'il soit à l'heure.
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   La probabilité d'un chemin dans un arbre est le produit des probabilités des branches parcourues.

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   1. Premier niveau : Bus ($0{,}7$) / Pied ($0{,}3$). Second niveau depuis Bus : À l'heure ($0{,}9$) / En retard ($0{,}1$) ; depuis Pied : À l'heure ($0{,}8$) / En retard ($0{,}2$).
   2. Chemin « Bus puis À l'heure » : $P(\text{Bus et à l'heure}) = 0{,}7 \times 0{,}9 = 0{,}63.$
5. 5

   Arbre pondéré et probabilité totale

   Moyen

   Une usine fabrique des pièces avec deux machines. La machine A produit $60\,\%$ des pièces, la machine B en produit $40\,\%$. Parmi les pièces de A, $5\,\%$ sont défectueuses ; parmi celles de B, $8\,\%$ sont défectueuses. On prélève une pièce au hasard. On note $D$ : « la pièce est défectueuse ».

   1. Construire l'arbre pondéré.
   2. Donner $P_A(D)$ et interpréter cette pondération.
   3. Calculer la probabilité que la pièce provienne de A et soit défectueuse.
   4. En additionnant les probabilités des deux chemins menant à $D$, calculer $P(D)$.
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   Les branches issues de A portent $P_A(D) = 0{,}05$ et $P_A(\bar{D}) = 0{,}95$. Un chemin « A puis D » a pour probabilité le produit $0{,}6 \times 0{,}05$. La pièce peut être défectueuse par deux chemins : A puis D, ou B puis D.

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6. 6

   Probabilités conditionnelles d'un tableau

   Moyen

   On interroge $500$ personnes sur le tabac et la toux chronique :

   	Toux	Sans toux	Total
   Fumeur	$60$	$40$	$100$
   Non-fumeur	$50$	$350$	$400$
   Total	$110$	$390$	$500$

   On choisit une personne au hasard. On note $F$ : « fumeur » et $T$ : « a une toux chronique ».

   1. Calculer $P_F(T)$.
   2. Calculer $P_T(F)$.
   3. Ces deux probabilités conditionnelles sont-elles égales ? Interpréter.
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   $P_F(T)$ a pour ensemble de référence les fumeurs ($100$ personnes) ; $P_T(F)$ a pour référence les personnes qui toussent ($110$ personnes).

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7. 7

   Arbre pondéré d'un jeu télévisé

   Moyen

   Un jeu télévisé propose deux enveloppes de départ. Le candidat choisit l'enveloppe X avec une probabilité $0{,}4$ et l'enveloppe Y avec une probabilité $0{,}6$. Si X, il gagne avec une probabilité $0{,}5$. Si Y, il gagne avec une probabilité $0{,}3$.

   1. Construire l'arbre pondéré et interpréter la pondération $0{,}5$ de la branche « gagner sachant X ».
   2. Calculer la probabilité que le candidat choisisse Y et gagne.
   3. En sommant les chemins gagnants, calculer la probabilité qu'il gagne.
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   La pondération d'une branche du second niveau est une probabilité conditionnelle. Deux chemins mènent à « gagner » : X puis gagner, et Y puis gagner.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   Une maladie touche $2\,\%$ de la population. Un test de dépistage a les caractéristiques suivantes : si la personne est malade, le test est positif avec une probabilité $0{,}95$ (sensibilité) ; si elle est saine, le test est négatif avec une probabilité $0{,}90$ (spécificité). On considère une population de $10\,000$ personnes.

   1. Compléter le tableau croisé (état réel $\times$ résultat du test).
   2. Une personne a un test positif. Calculer la probabilité qu'elle soit réellement malade.
   3. Comparer cette valeur à la sensibilité $0{,}95$ et commenter (« faux positifs »).
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   $A$ et $B$ sont deux évènements d'une même expérience. On donne :

   $$P(A) = 0{,}3, \qquad P_A(B) = 0{,}4, \qquad P(B) = 0{,}2.$$

   1. Calculer $P(A \cap B)$ en utilisant la multiplication des branches d'un chemin.
   2. En déduire $P_B(A)$.
   3. Vérifier que $P_A(B) \neq P_B(A)$ et rappeler pourquoi ces deux nombres n'ont pas la même signification.
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