Ascension Maths

I. La droite numérique

À chaque point d'une droite graduée correspond un nombre réel, son abscisse, et à chaque nombre réel correspond un point. Cette correspondance est le point de départ de tout le chapitre : elle permet de voir les nombres comme des positions et les calculs comme des déplacements.

DéfinitionIntervalle

Un intervalle de $\mathbb{R}$ est l'ensemble des réels situés entre deux bornes, avec ou sans ces bornes.

notation	ensemble des réels $x$ tels que
$[a\,;b]$	$a \leqslant x \leqslant b$
$]a\,;b[$	$a < x < b$
$[a\,;+\infty[$	$x \geqslant a$
$]-\infty\,;b]$	$x \leqslant b$

Un crochet fermé indique que la borne appartient à l'intervalle, un crochet ouvert qu'elle en est exclue.

DéfinitionValeur absolue et distance

La valeur absolue d'un réel $a$ , notée $|a|$ , est la distance de $a$ à zéro sur la droite numérique. Elle vaut $a$ si $a$ est positif, et $-a$ sinon. Une valeur absolue n'est donc jamais négative.

La distance entre deux réels $a$ et $b$ est le nombre $|b-a|$ , qui vaut aussi $|a-b|$ .

Exemple

La distance entre $-3$ et $5$ vaut $|5-(-3)| = |8| = 8$ , ce que confirme la lecture directe sur la droite graduée.

PropriétéInégalité avec valeur absolue

On considère un réel $a$ et un réel positif $r$ . Dire que la distance de $x$ à $a$ est inférieure ou égale à $r$ revient à dire que $x$ appartient à l'intervalle de centre $a$ et de rayon $r$ :

|x-a| \leqslant r \quad \Longleftrightarrow \quad a-r \leqslant x \leqslant a+r \quad \Longleftrightarrow \quad x \in [a-r\,;a+r]

Exemple

L'inéquation $|x-7| \leqslant 2$ décrit les réels dont la distance à $7$ ne dépasse pas $2$ : son ensemble de solutions est $[5\,;9]$ .

II. Décimaux, rationnels, irrationnels

DéfinitionTrois familles de réels

Un nombre décimal s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule. L'ensemble des décimaux se note $\mathbb{D}$ .

Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers. L'ensemble des rationnels se note $\mathbb{Q}$ .

Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. Les nombres $\sqrt{2}$ et $\pi$ en sont les exemples les plus connus.

Remarque

Tout décimal est rationnel, puisque $1{,}25 = \dfrac{125}{100}$ . La réciproque est fausse, et c'est l'objet de la démonstration qui suit.

Démonstration : Le rationnel un tiers n'est pas décimal

Raisonnons par l'absurde en supposant que $\dfrac{1}{3}$ est un nombre décimal. Il s'écrit alors sous la forme $\dfrac{a}{10^n}$ , où $a$ est un entier et $n$ un entier naturel. On aurait

\frac{1}{3}=\frac{a}{10^n} \qquad \text{donc} \qquad 10^n = 3a

Le nombre $10^n$ serait donc un multiple de $3$ . Or $10^n$ ne s'écrit qu'avec le chiffre $1$ suivi de zéros, et la somme de ses chiffres vaut $1$ , qui n'est pas un multiple de $3$ : le nombre $10^n$ n'est donc pas divisible par $3$ .

La supposition mène à une contradiction, donc $\dfrac{1}{3}$ n'est pas décimal.

Démonstration : La racine carrée de 2 est irrationnelle

Raisonnons encore par l'absurde en supposant que $\sqrt{2}$ est rationnel. Il s'écrit alors $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$ , avec $p$ et $q$ entiers, cette fraction étant choisie irréductible. En élevant au carré :

2 = \frac{p^2}{q^2} \qquad \text{donc} \qquad p^2 = 2q^2

Le nombre $p^2$ est donc pair, et un entier dont le carré est pair est lui-même pair. On peut alors écrire $p = 2k$ avec $k$ entier, ce qui donne

(2k)^2 = 2q^2 \qquad \text{soit} \qquad 4k^2 = 2q^2 \qquad \text{soit} \qquad q^2 = 2k^2

Le nombre $q^2$ est donc pair lui aussi, et $q$ également. Les entiers $p$ et $q$ seraient alors tous les deux pairs, ce qui contredit le choix d'une fraction irréductible.

La supposition est donc fausse : $\sqrt{2}$ est irrationnel.

III. Encadrer et arrondir

DéfinitionEncadrement

Encadrer un réel $x$ consiste à donner deux nombres $a$ et $b$ tels que $a \leqslant x \leqslant b$ . L'amplitude de cet encadrement est la différence $b-a$ : plus elle est petite, plus l'encadrement est précis.

Exemple

La calculatrice affiche $\sqrt{2} \approx 1{,}414\,213\,5$ . Les encadrements successifs

1 \leqslant \sqrt{2} \leqslant 2 \qquad 1{,}4 \leqslant \sqrt{2} \leqslant 1{,}5 \qquad 1{,}41 \leqslant \sqrt{2} \leqslant 1{,}42

ont pour amplitudes $1$ , puis $0{,}1$ , puis $0{,}01$ .

MéthodeEncadrer par balayage

Pour resserrer un encadrement d'un cran, on teste les valeurs de dixième en dixième à partir de la borne inférieure connue, jusqu'à dépasser le nombre cherché. Le programme suivant applique cette idée à $\sqrt{2}$ au centième près.

x = 1
while x ** 2 <= 2:
    x = x + 0.01
# x - 0.01 <= racine de 2 <= x

DéfinitionArrondi et chiffres significatifs

Arrondir un nombre consiste à le remplacer par la valeur approchée la plus proche au rang demandé. Les chiffres significatifs sont ceux qui portent une information, en commençant par le premier chiffre non nul à partir de la gauche.

Attention

Un résultat ne peut pas être plus précis que les données qui l'ont produit. Annoncer une aire de $12{,}566\,370\,6$ mètres carrés à partir d'un rayon mesuré à $2$ mètres près n'a pas de sens : deux ou trois chiffres significatifs suffisent.

Nombres réels

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. La droite numérique

II. Décimaux, rationnels, irrationnels

III. Encadrer et arrondir