Chapitres de Seconde

Nombres réels

1
Exercice 1
Facile
Pour chacun des nombres suivants, indiquer à quels ensembles parmi $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{D}$ , $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ il appartient :
$-3, \qquad \frac{7}{2}, \qquad \frac{1}{3}, \qquad \sqrt{2}, \qquad 5.$
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Rappelle-toi : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ . Un décimal a une écriture décimale finie ; $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Voir la correction
- $-3$ : c'est un entier relatif. Il appartient à $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{D}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ , mais pas à $\mathbb{N}$ .
- $\frac{7}{2} = 3{,}5$ : écriture décimale finie. Il appartient à $\mathbb{D}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ , mais pas à $\mathbb{N}$ ni $\mathbb{Z}$ .
- $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ : rationnel non décimal. Il appartient à $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ , mais pas à $\mathbb{D}$ .
- $\sqrt{2}$ : irrationnel. Il appartient à $\mathbb{R}$ seulement.
- $5$ : entier naturel. Il appartient à tous les ensembles $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{D}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ .
2
Exercice 2
Facile
1. Traduire chacun des ensembles suivants à l'aide d'un intervalle : « les réels $x$ tels que $x \geq -2$ » ; « les réels $x$ tels que $x < 4$ » ; « les réels $x$ tels que $-1 \leq x \leq 3$ ».
2. Représenter l'intervalle $[-1\,;3]$ sur une droite graduée.
3. Le nombre $3$ appartient-il à l'intervalle $[-1\,;3[$ ? Justifier.
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Un crochet tourné vers l'intérieur (par exemple $[a$ ) signifie que la borne est incluse ; tourné vers l'extérieur, elle est exclue. L'infini est toujours exclu.
Voir la correction
1. « $x \geq -2$ » correspond à $[-2\,;+\infty[$ . « $x < 4$ » correspond à $]-\infty\,;4[$ . « $-1 \leq x \leq 3$ » correspond à $[-1\,;3]$ .
2. Sur la droite graduée, on trace un segment allant de $-1$ à $3$ , avec des crochets fermés (bornes incluses) en $-1$ et en $3$ .
3. Dans $[-1\,;3[$ , la borne $3$ est exclue (crochet tourné vers l'extérieur). Donc $3 \notin [-1\,;3[$ .
3
Exercice 3
Facile
On rappelle que $|a|$ désigne la distance de $a$ à $0$ , et que $|b - a|$ est la distance entre les réels $a$ et $b$ .
1. Calculer $|{-5}|$ , $|3{,}2|$ et $|0|$ .
2. Calculer la distance entre $-4$ et $7$ .
3. Simplifier l'expression $|\,2 - 9\,|$ .
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La valeur absolue d'un nombre est ce nombre « sans son signe ». La distance entre $a$ et $b$ vaut $|b-a|$ , toujours positive.
Voir la correction
1. $|{-5}| = 5$ , \quad $|3{,}2| = 3{,}2$ , \quad $|0| = 0$ .
2. La distance entre $-4$ et $7$ vaut $|7 - (-4)| = |11| = 11$ .
3. $|\,2 - 9\,| = |{-7}| = 7$ .
4
Exercice 4
Facile
Donner un encadrement de $\dfrac{2}{7}$ par deux décimaux :
1. à $10^{-1}$ près ;
2. à $10^{-2}$ près.
On donnera à chaque fois l'amplitude de l'encadrement obtenu.
Voir un indice
Calcule $\frac{2}{7}$ à la calculatrice : $\frac{2}{7} \approx 0{,}2857\ldots$ Un encadrement à $10^{-n}$ près a une amplitude de $10^{-n}$ .
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On a $\dfrac{2}{7} = 0{,}285714\ldots$
1. À $10^{-1}$ près : $0{,}2 \leq \dfrac{2}{7} \leq 0{,}3$ . L'amplitude est $0{,}3 - 0{,}2 = 0{,}1 = 10^{-1}$ .
2. À $10^{-2}$ près : $0{,}28 \leq \dfrac{2}{7} \leq 0{,}29$ . L'amplitude est $0{,}29 - 0{,}28 = 0{,}01 = 10^{-2}$ .
5
Inéquation avec valeur absolue
Moyen
On considère l'inéquation $|x - 3| \leq 2$ .
1. Interpréter cette inéquation en termes de distance.
2. En déduire l'ensemble des solutions sous forme d'un intervalle.
3. Résoudre de même $|x + 1| \leq 4$ (on remarquera que $x + 1 = x - (-1)$ ).
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L'inéquation $|x - a| \leq r$ signifie que la distance de $x$ à $a$ est au plus $r$ : cela équivaut à $x \in [a - r\,;a + r]$ .
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6
Encadrement de $\sqrt{2}$ par balayage
Moyen
On veut encadrer $\sqrt{2}$ par balayage. On sait que $1 < \sqrt{2} < 2$ .
1. En calculant les carrés de $1{,}1$ ; $1{,}2$ ; $1{,}3$ ; $1{,}4$ ; $1{,}5$ , encadrer $\sqrt{2}$ à $10^{-1}$ près.
2. Reprendre la démarche pour obtenir un encadrement de $\sqrt{2}$ à $10^{-2}$ près.
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Comme la fonction carré est croissante sur les positifs, $a < \sqrt{2} < b$ équivaut à $a^2 < 2 < b^2$ (pour $a, b > 0$ ). Cherche deux décimaux consécutifs dont les carrés encadrent $2$ .
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7
Incertitude, encadrement et chiffres significatifs
Moyen
Une masse est mesurée à $m = 12{,}47$ g avec une incertitude : la valeur exacte $M$ vérifie $|M - 12{,}47| \leq 0{,}05$ .
1. Donner un encadrement de $M$ sous forme d'intervalle.
2. Quelle est l'amplitude de cet encadrement ?
3. Arrondir $12{,}47$ au dixième, puis donner le nombre de chiffres significatifs de $12{,}47$ .
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Utilise l'équivalence entre $|M - a| \leq r$ et $M \in [a - r\,;a + r]$ . Les chiffres significatifs sont tous les chiffres à partir du premier chiffre non nul.
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8
Exercice 8
Difficile
On veut démontrer que $\dfrac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.
1. Rappeler ce qu'est un nombre décimal (écriture de la forme $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a$ entier et $n$ entier naturel).
2. Raisonnons par l'absurde : supposons que $\dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^n}$ . En déduire que $10^n = 3a$ .
3. En observant que $10^n$ n'est pas divisible par $3$ , conclure.
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9
Exercice 9
Difficile
On veut démontrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel. On raisonne par l'absurde en supposant que $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ est une fraction irréductible ( $p$ et $q$ entiers naturels sans diviseur commun autre que $1$ ).
1. Montrer qu'alors $p^2 = 2q^2$ . En déduire que $p^2$ est pair, puis que $p$ est pair.
2. On écrit $p = 2k$ . Montrer que $q^2 = 2k^2$ , puis que $q$ est pair.
3. Expliquer pourquoi on aboutit à une contradiction, et conclure.
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Nombres réels

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Inéquation avec valeur absolue

Encadrement de 2\sqrt{2}2​ par balayage

Incertitude, encadrement et chiffres significatifs

Exercice 8

Exercice 9

Encadrement de $\sqrt{2}$ par balayage