Ascension Maths

I. Proportions et pourcentages

DéfinitionProportion

On considère une population de référence contenant $N$ individus, et une partie de cette population contenant $n$ individus. La proportion de cette partie est le quotient

p=\frac{n}{N}

Ce nombre appartient toujours à l'intervalle $[0\,;1]$ . Multiplié par $100$ , il s'exprime en pourcentage.

PropriétéPourcentage de pourcentage

Lorsqu'une partie $B$ est incluse dans une partie $A$ , elle-même incluse dans la population totale, les proportions se multiplient :

p_{B/\text{total}} = p_{B/A} \times p_{A/\text{total}}

Exemple

Dans un lycée, $40\,\%$ des élèves sont en Seconde, et parmi ces élèves de Seconde, $55\,\%$ sont des filles. La proportion de filles de Seconde dans le lycée vaut

0{,}55 \times 0{,}40 = 0{,}22

soit $22\,\%$ des élèves du lycée.

Attention

Un pourcentage n'a de sens que rapporté à une population de référence. Dire « les filles représentent $55\,\%$ » sans préciser $55\,\%$ de quoi rend l'information inexploitable, et c'est une source classique de confusion dans les énoncés.

II. Évolutions

DéfinitionTrois façons de décrire une évolution

Une grandeur passe d'une valeur initiale $V_1$ à une valeur finale $V_2$ , la première étant non nulle.

La variation absolue est la différence $V_2-V_1$ , exprimée dans l'unité de la grandeur.

Le coefficient multiplicateur est le quotient $\;CM=\dfrac{V_2}{V_1}$ .

Le taux d'évolution est le quotient $\;t=\dfrac{V_2-V_1}{V_1}$ , souvent exprimé en pourcentage.

PropriétéLien entre taux et coefficient

Le taux d'évolution et le coefficient multiplicateur se déduisent l'un de l'autre :

CM = 1+t \qquad \text{et} \qquad V_2 = V_1 \times (1+t)

PropriétéÉvolutions successives

Lorsque plusieurs évolutions s'enchaînent, les coefficients multiplicateurs se multiplient :

CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2

Les taux d'évolution, eux, ne s'additionnent pas.

Exemple

Un prix augmente de $20\,\%$ , puis baisse de $20\,\%$ . Le coefficient global vaut

1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96

Le prix final est donc inférieur de $4\,\%$ au prix de départ, alors que les deux pourcentages semblaient se compenser.

PropriétéÉvolution réciproque

L'évolution réciproque est celle qui ramène à la valeur de départ. Son coefficient multiplicateur est l'inverse du coefficient initial :

CM_{\text{réciproque}} = \frac{1}{CM}

Exemple

Après une hausse de $25\,\%$ , le coefficient vaut $1{,}25$ . Pour revenir au prix initial, il faut multiplier par $\dfrac{1}{1{,}25}=0{,}8$ , soit une baisse de $20\,\%$ , et non de $25\,\%$ .

III. Indicateurs d'une série statistique

DéfinitionPosition et dispersion

Les indicateurs de position résument où se situent les valeurs : la moyenne $\bar{x}$ et la médiane.

Les indicateurs de dispersion mesurent l'étalement des valeurs autour de cette position : l'étendue, l'écart interquartile $Q_3-Q_1$ et l'écart type.

PropriétéMoyenne pondérée

Lorsque les valeurs $x_1, x_2, \ldots, x_p$ apparaissent avec les effectifs $n_1, n_2, \ldots, n_p$ , la moyenne vaut

\bar{x}=\frac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_px_p}{n_1+n_2+\cdots+n_p}

PropriétéLinéarité de la moyenne

Si l'on ajoute un même nombre $b$ à toutes les valeurs d'une série, la moyenne augmente de $b$ . Si l'on multiplie toutes les valeurs par un même nombre $a$ , la moyenne est multipliée par $a$ .

Autrement dit, la série des $ax_i+b$ a pour moyenne $a\bar{x}+b$ .

Remarque

L'écart type mesure la dispersion autour de la moyenne : plus il est grand, plus les valeurs sont éloignées les unes des autres. Le calcul se fait à la calculatrice ou avec un tableur, mais l'interprétation reste exigible.

MéthodeComparer deux séries

La comparaison associe toujours un indicateur de position et un indicateur de dispersion. Deux couples cohérents existent : moyenne avec écart type, ou médiane avec écart interquartile.

Le second couple convient mieux lorsque la série comporte des valeurs extrêmes, car la médiane et les quartiles y sont peu sensibles.

IV. Séries regroupées en classes

Lorsqu'une grandeur prend un très grand nombre de valeurs différentes, comme une taille ou un salaire, on regroupe les données par tranches de même amplitude, appelées classes.

MéthodeMoyenne et médiane estimées

La valeur exacte de chaque donnée étant perdue, on remplace chaque classe par son centre, puis on calcule la moyenne pondérée par les effectifs. Le résultat est une estimation de la moyenne réelle.

Pour la médiane, on repère la classe médiane, c'est-à-dire celle qui contient la valeur du milieu de l'effectif total, puis on estime la médiane à l'intérieur de cette classe en supposant les valeurs réparties uniformément.

Exemple

Une série de $50$ tailles est regroupée ainsi.

classe (en cm)	effectif	centre
$[150\,;160[$	$8$	$155$
$[160\,;170[$	$22$	$165$
$[170\,;180[$	$20$	$175$

La moyenne estimée vaut

\bar{x}=\frac{8 \times 155 + 22 \times 165 + 20 \times 175}{50}=167{,}4

soit environ $167$ centimètres. L'effectif total étant $50$ , la médiane se trouve dans la classe $[160\,;170[$ , qui contient les individus de rangs $9$ à $30$ .

Remarque

L'histogramme est la représentation adaptée à ces séries : l'aire de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe. Avec des classes de même amplitude, la hauteur suffit à lire l'effectif.

Information chiffrée et statistique

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Proportions et pourcentages

II. Évolutions

III. Indicateurs d'une série statistique

IV. Séries regroupées en classes