Ascension Maths

I. Vecteur directeur

Le plan est muni d'un repère. Une droite est entièrement déterminée par un point qu'elle contient et par la direction qu'elle suit, et cette direction se décrit par un vecteur.

DéfinitionVecteur directeur

Un vecteur directeur d'une droite $d$ est un vecteur non nul $\vec{u}$ tel que, pour deux points distincts $A$ et $B$ de $d$ , les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{u}$ soient colinéaires.

Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux.

PropriétéAppartenance à une droite

On considère une droite $d$ passant par un point $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ . Un point $M$ appartient à $d$ si et seulement si les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si

\det(\vec{AM},\vec{u})=0

II. Équations de droite

DéfinitionÉquation cartésienne

Toute droite du plan admet une équation de la forme

ax+by+c=0

où $a$ , $b$ , $c$ sont des réels, les deux premiers n'étant pas nuls en même temps. Un vecteur directeur de cette droite est le vecteur de coordonnées $(-b\,;a)$ .

Démonstration : Forme générale d'une équation de droite

On considère une droite $d$ passant par le point $A\,(x_A\,;y_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\,(\alpha\,;\beta)$ . Un point $M\,(x\,;y)$ appartient à $d$ si et seulement si les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, donc si et seulement si leur déterminant est nul :

(x-x_A)\beta-(y-y_A)\alpha = 0

En développant :

\beta x - \alpha y + (\alpha y_A - \beta x_A) = 0

Cette égalité est bien de la forme $ax+by+c=0$ , avec $a=\beta$ , $b=-\alpha$ et $c=\alpha y_A-\beta x_A$ . Les coefficients $a$ et $b$ ne sont pas nuls en même temps, puisque le vecteur $\vec{u}$ n'est pas nul.

DéfinitionÉquation réduite

Une droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme

y = mx+p

Le réel $m$ est la pente, aussi appelée coefficient directeur, et le réel $p$ est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire l'ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées.

Une droite parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme $x=k$ et n'admet pas d'équation réduite.

PropriétéPente à partir de deux points

Si une droite passe par deux points $A\,(x_A\,;y_A)$ et $B\,(x_B\,;y_B)$ d'abscisses différentes, sa pente vaut

m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

Un vecteur directeur de cette droite est alors le vecteur de coordonnées $(1\,;m)$ .

MéthodeTrouver l'équation réduite passant par deux points

La démarche tient en deux temps. On calcule d'abord la pente $m$ avec la formule ci-dessus. On détermine ensuite l'ordonnée à l'origine $p$ en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées de l'un des deux points dans l'équation $y=mx+p$ .

Exemple

Cherchons l'équation de la droite passant par $A\,(1\,;3)$ et $B\,(4\,;9)$ .

La pente vaut $m=\dfrac{9-3}{4-1}=2$ . En remplaçant dans $y=2x+p$ avec le point $A$ : $3 = 2\times 1 + p$ , donc $p=1$ .

L'équation réduite est $y=2x+1$ .

III. Positions relatives de deux droites

PropriétéParallèles ou sécantes

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Avec les équations réduites $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ , cela revient à $m=m'$ .

Dans le cas contraire, les deux droites sont sécantes en un unique point.

MéthodeTrouver le point d'intersection

Le point commun a des coordonnées qui vérifient les deux équations à la fois. On égalise donc les deux expressions de $y$ , on résout l'équation du premier degré obtenue pour trouver l'abscisse, puis on remplace dans l'une des deux équations pour obtenir l'ordonnée.

Exemple

Cherchons le point commun aux droites d'équations $y=2x+1$ et $y=-x+7$ .

2x+1=-x+7 \qquad \text{donne} \qquad 3x=6 \qquad \text{donc} \qquad x=2

En remplaçant dans la première équation, $y=2\times 2+1=5$ . Les deux droites se coupent au point de coordonnées $(2\,;5)$ .

Attention

Deux droites de même pente et de même ordonnée à l'origine sont confondues, pas seulement parallèles. Il reste donc à comparer $p$ et $p'$ après avoir constaté que $m=m'$ .

ExempleTester l'alignement de trois points

def alignes(xa, ya, xb, yb, xc, yc):
    # déterminant des vecteurs AB et AC
    return (xb - xa) * (yc - ya) - (yb - ya) * (xc - xa) == 0

Droites du plan

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Vecteur directeur

II. Équations de droite

III. Positions relatives de deux droites