Droites du plan

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Dans un repère, on considère les points $A(1\,;\,2)$ et $B(3\,;\,6)$.

   1. Calculer le coefficient directeur (la pente) de la droite $(AB)$.
   2. En déduire l'équation réduite de la droite $(AB)$.
   Voir un indice

   Le coefficient directeur d'une droite passant par $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ (avec $x_A\neq x_B$) est $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$. L'équation réduite est $y=mx+p$, où $p$ se trouve en utilisant les coordonnées d'un point.

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   1. $m=\dfrac{6-2}{3-1}=\dfrac{4}{2}=2$.

   2. L'équation réduite est de la forme $y=2x+p$. Le point $A(1\,;\,2)$ appartient à la droite : $2=2\times 1+p$, d'où $p=0$. L'équation réduite est $y=2x$.

   Vérification avec $B$ : $2\times 3=6$, ce qui correspond bien à $y_B=6$.

2. 2

   Exercice 2

   Facile

   On considère la droite $d$ passant par le point $A(2\,;\,-1)$ et de coefficient directeur $3$.

   1. Déterminer l'équation réduite de $d$.
   2. En déduire une équation cartésienne de $d$ de la forme $ax+by+c=0$.
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   Écrire $y=3x+p$ puis utiliser le point $A$. Pour l'équation cartésienne, tout ramener dans le même membre.

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   1. $d$ a pour équation réduite $y=3x+p$. Avec $A(2\,;\,-1)$ : $-1=3\times 2+p$, donc $p=-1-6=-7$. L'équation réduite est $y=3x-7$.

   2. On écrit $y=3x-7 \Longleftrightarrow 3x-y-7=0$. Une équation cartésienne est $3x-y-7=0$.

3. 3

   Exercice 3

   Facile

   On considère la droite $d$ d'équation cartésienne $2x-3y+6=0$.

   1. Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur de $d$.
   2. Déterminer le coefficient directeur de $d$.
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   Pour une droite d'équation $ax+by+c=0$, un vecteur directeur est $\vec{u}\,(-b\,;\,a)$ et le coefficient directeur (si $b\neq0$) est $m=-\dfrac{a}{b}$.

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   Ici $a=2$, $b=-3$, $c=6$.

   1. Un vecteur directeur est $\vec{u}\,(-b\,;\,a)=(3\,;\,2)$.

   2. Le coefficient directeur est $m=-\dfrac{a}{b}=-\dfrac{2}{-3}=\dfrac{2}{3}$. On retrouve bien $m=\dfrac{y\text{ du directeur}}{x\text{ du directeur}}=\dfrac{2}{3}$.

4. 4

   Exercice 4

   Facile

   On donne trois droites :

   $$d_1 : y=2x+1,\qquad d_2 : y=2x-3,\qquad d_3 : y=-x+4.$$

   1. Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ou sécantes ? Justifier.
   2. Les droites $d_1$ et $d_3$ sont-elles parallèles ou sécantes ? Justifier.
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   Deux droites données par leur équation réduite sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

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   1. $d_1$ et $d_2$ ont le même coefficient directeur $2$ mais des ordonnées à l'origine différentes ($1\neq -3$). Elles sont donc parallèles (et distinctes).

   2. $d_1$ a pour coefficient directeur $2$ et $d_3$ a pour coefficient directeur $-1$. Comme $2\neq -1$, les droites $d_1$ et $d_3$ sont sécantes.

5. 5

   Point d'intersection de deux droites

   Moyen

   On considère les droites $d_1 : y=2x-1$ et $d_2 : y=-x+5$.

   1. Justifier que $d_1$ et $d_2$ sont sécantes.
   2. Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
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   Deux droites de coefficients directeurs différents sont sécantes. Pour trouver le point d'intersection, résoudre l'équation obtenue en égalant les deux expressions de $y$.

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6. 6

   Équation cartésienne d'une droite

   Moyen

   On considère les points $A(-1\,;\,2)$ et $B(3\,;\,-4)$. On souhaite déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.

   1. Calculer les coordonnées de $\vec{AB}$.
   2. Un point $M(x\,;\,y)$ appartient à $(AB)$ si et seulement si $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaires. En écrivant $\det(\vec{AM},\vec{AB})=0$, déterminer une équation cartésienne de $(AB)$.
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   $\vec{AM}\,(x-x_A\,;\,y-y_A)$. Le déterminant $\det(\vec{AM},\vec{AB})=(x-x_A)\,y_{\vec{AB}}-(y-y_A)\,x_{\vec{AB}}$ doit être nul.

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7. 7

   Équation réduite et alignement de points

   Moyen

   On considère les points $A(2\,;\,1)$, $B(4\,;\,5)$ et $C(5\,;\,7)$.

   1. Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$.
   2. En déduire, en testant le point $C$, si les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
   3. Retrouver ce résultat à l'aide d'un déterminant.
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   Trois points sont alignés si le troisième appartient à la droite définie par les deux premiers, ou de façon équivalente si $\det(\vec{AB},\vec{AC})=0$.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   Dans un repère orthonormé, on considère le point $F(0\,;\,2)$ et l'axe des abscisses $(Ox)$. On cherche l'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ situés à égale distance de $F$ et de l'axe des abscisses (la distance de $M$ à l'axe des abscisses est $|y|$).

   1. Traduire la condition $MF=|y|$ par une égalité entre expressions.
   2. En élevant au carré, montrer que l'ensemble cherché est la courbe d'équation $y=\dfrac{x^2}{4}+1$.
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   On considère les droites $d_1 : y=2x-1$ et $d_2 : y=-x+3$. On s'intéresse à la partie du plan formée des points $M(x\,;\,y)$ vérifiant simultanément

   $$y\geq 2x-1 \qquad\text{et}\qquad y\leq -x+3.$$

   1. Déterminer le point d'intersection $I$ de $d_1$ et $d_2$.
   2. Le point $O(0\,;\,0)$ appartient-il à la partie du plan décrite ? Justifier par le calcul.
   3. Décrire géométriquement cette partie du plan.
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