Ascension Maths

I. Fractions et puissances

Les calculs de ce chapitre reviennent dans tous les autres. Les poser correctement une fois pour toutes évite d'y repenser en plein exercice de géométrie ou de probabilité.

PropriétéOpérations sur les fractions

On considère quatre nombres $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , les dénominateurs étant non nuls.

\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b} \qquad \frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \qquad \frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}

Pour additionner deux fractions de dénominateurs différents, il faut d'abord les mettre au même dénominateur.

PropriétéOpérations sur les puissances

On considère un réel $a$ non nul et deux entiers relatifs $m$ et $n$ .

a^m \times a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{mn} \qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n}

Attention

L'expression $a^m \times b^m$ vaut $(ab)^m$ , mais $a^m + a^n$ ne se simplifie pas. Beaucoup d'erreurs viennent d'une règle d'addition inventée par analogie avec la multiplication.

Exemple

Le calcul $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}$ se mène en passant au dénominateur commun $12$ :

\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}

II. Calcul littéral

PropriétéIdentités remarquables

On considère deux réels $a$ et $b$ .

(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \qquad (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \qquad (a+b)(a-b)=a^2-b^2

Lues de gauche à droite, ces égalités développent. Lues de droite à gauche, elles factorisent.

MéthodeFactoriser

Deux réflexes couvrent la plupart des cas rencontrés en Seconde.

Chercher d'abord un facteur commun : l'expression $ax^2+bx$ devient $x(ax+b)$ , et l'expression $ax+bx$ devient $x(a+b)$ .

Reconnaître ensuite une identité remarquable : l'expression $x^2-9$ est une différence de deux carrés, elle se factorise en $(x-3)(x+3)$ .

Remarque

Une expression a plusieurs écritures, et chacune sert à quelque chose. La forme développée facilite le calcul d'une image, la forme factorisée révèle les valeurs qui annulent l'expression. Choisir la bonne forme fait souvent gagner la moitié du travail.

III. Équations et inéquations

PropriétéRègles de transformation

Une égalité reste vraie si l'on ajoute un même nombre aux deux membres, ou si on les multiplie par un même nombre non nul.

Une inégalité reste vraie si l'on ajoute un même nombre aux deux membres. En revanche, la multiplication par un nombre strictement négatif change le sens de l'inégalité.

ExempleUne inéquation

Résolvons $-2x+1 \leqslant 7$ .

-2x \leqslant 6 \qquad \text{puis} \qquad x \geqslant -3

La division par $-2$ a retourné le symbole. L'ensemble des solutions est l'intervalle $[-3\,;+\infty[$ .

PropriétéÉquation produit nul

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :

A(x)\times B(x) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad A(x)=0 \;\text{ ou }\; B(x)=0

PropriétéÉquation du type

x^2=a

Le nombre de solutions dépend du signe de $a$ :

si $a>0$ , deux solutions, $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ ;
si $a=0$ , une seule solution, $0$ ;
si $a<0$ , aucune solution, car un carré n'est jamais strictement négatif.

IV. Proportions et pourcentages

DéfinitionProportion

La proportion d'une partie dans un tout est le quotient de l'effectif de la partie par l'effectif du tout. Multipliée par $100$ , elle s'exprime en pourcentage.

PropriétéAugmenter ou diminuer

Augmenter une quantité de $t\,\%$ revient à la multiplier par $1+\dfrac{t}{100}$ .

Diminuer une quantité de $t\,\%$ revient à la multiplier par $1-\dfrac{t}{100}$ .

Ce nombre s'appelle le coefficient multiplicateur.

Exemple

Un article à $80$ euros augmente de $15\,\%$ : son nouveau prix vaut $80 \times 1{,}15 = 92$ euros.

Le même article, soldé ensuite de $15\,\%$ , ne revient pas à $80$ euros mais à $92 \times 0{,}85 = 78{,}20$ euros. Les pourcentages ne s'additionnent pas, ce sont les coefficients multiplicateurs qui se multiplient.

Attention

Un pourcentage de pourcentage se calcule aussi par multiplication. Si $40\,\%$ des élèves d'un lycée sont en Seconde et que $55\,\%$ d'entre eux sont des filles, alors la proportion de filles de Seconde dans le lycée vaut $0{,}40 \times 0{,}55 = 0{,}22$ , soit $22\,\%$ .

V. Lectures graphiques et indicateurs

DéfinitionImage et antécédent

Sur la courbe représentative d'une fonction $f$ , lire l'image d'un nombre $a$ consiste à partir de $a$ sur l'axe des abscisses, monter jusqu'à la courbe, puis lire l'ordonnée obtenue : c'est $f(a)$ .

Lire les antécédents d'un nombre $k$ consiste à faire le chemin inverse, en partant de $k$ sur l'axe des ordonnées. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.

PropriétéMoyenne, médiane, quartiles

La moyenne d'une série s'obtient en divisant la somme des valeurs par leur nombre.

La médiane partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales.

Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins un quart des données lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile $Q_3$ joue le même rôle avec les trois quarts.

Remarque

La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane beaucoup moins. Sur des salaires, quelques très hautes rémunérations tirent la moyenne vers le haut sans déplacer la médiane : c'est pour cela que les deux indicateurs sont publiés ensemble.

PropriétéProbabilités élémentaires

Une probabilité est un nombre compris entre $0$ et $1$ . La somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$ , et la probabilité de l'évènement contraire de $A$ vaut $1-P(A)$ .

En situation d'équiprobabilité, c'est-à-dire lorsque toutes les issues ont la même probabilité,

P(A)=\frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}

où $\Omega$ désigne l'ensemble de toutes les issues possibles.

Automatismes

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Fractions et puissances

II. Calcul littéral

III. Équations et inéquations

IV. Proportions et pourcentages

V. Lectures graphiques et indicateurs