Automatismes (calcul mental et rapide)

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Effectuer chaque calcul de tête ou rapidement.

   1. Comparer les fractions $\dfrac{5}{8}$ et $\dfrac{7}{12}$.
   2. Calculer $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}$.
   3. Écrire $10^{3} \times 10^{-5}$ sous la forme $10^{n}$.
   4. Calculer $\left(2^{3}\right)^{2}$.
   Voir un indice

   Pour comparer deux fractions, les réduire au même dénominateur ou comparer les produits en croix. Pour les puissances, se souvenir de $10^{a} \times 10^{b} = 10^{a+b}$ et $(a^{m})^{n} = a^{mn}$.

   Voir la correction

   1. Produits en croix : $5 \times 12 = 60$ et $7 \times 8 = 56$. Comme $60 > 56$, on a $\dfrac{5}{8} > \dfrac{7}{12}$.
   2. $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$.
   3. $10^{3} \times 10^{-5} = 10^{3 + (-5)} = 10^{-2}$.
   4. $\left(2^{3}\right)^{2} = 2^{3 \times 2} = 2^{6} = 64$.
2. 2

   Exercice 2

   Facile
   1. Écrire $0{,}25$ sous forme de fraction irréductible, puis en pourcentage.
   2. Écrire $\dfrac{3}{5}$ en pourcentage.
   3. Donner un ordre de grandeur de $198 \times 49$.
   4. Convertir : $2{,}5$ km en mètres, puis $3$ h en minutes.
   Voir un indice

   Un pourcentage est une fraction de dénominateur $100$. Pour un ordre de grandeur, remplacer chaque nombre par une valeur simple proche.

   Voir la correction

   1. $0{,}25 = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4} = 25\,\%$.
   2. $\dfrac{3}{5} = \dfrac{60}{100} = 60\,\%$.
   3. $198 \approx 200$ et $49 \approx 50$, donc $198 \times 49 \approx 200 \times 50 = 10\,000$ (la valeur exacte est $9702$).
   4. $2{,}5 \text{ km} = 2500 \text{ m}$ et $3 \text{ h} = 180 \text{ min}$.
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Développer, réduire ou factoriser selon le cas.

   1. Développer $(x + 3)^{2}$.
   2. Développer $(2x - 5)^{2}$.
   3. Développer $(x + 4)(x - 4)$.
   4. Factoriser $3x^{2} + 6x$.
   Voir un indice

   Utiliser les identités remarquables $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ et $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Pour factoriser, repérer un facteur commun.

   Voir la correction

   1. $(x + 3)^{2} = x^{2} + 2 \times x \times 3 + 3^{2} = x^{2} + 6x + 9$.
   2. $(2x - 5)^{2} = (2x)^{2} - 2 \times 2x \times 5 + 5^{2} = 4x^{2} - 20x + 25$.
   3. $(x + 4)(x - 4) = x^{2} - 4^{2} = x^{2} - 16$.
   4. $3x^{2} + 6x = 3x(x + 2)$ (facteur commun $3x$).
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   Résoudre dans $\mathbb{R}$.

   1. $x^{2} = 49$.
   2. $3x + 5 = 2x - 4$.
   3. $\dfrac{5}{x} = 2$ (avec $x \ne 0$).
   4. $2x - 3 < 7$.
   Voir un indice

   Une équation $x^2 = a$ avec $a > 0$ possède deux solutions opposées. Pour l'inéquation, isoler $x$ (le sens ne change pas ici car on divise par un nombre positif).

   Voir la correction

   1. $x^{2} = 49$ donne $x = 7$ ou $x = -7$.
   2. $3x + 5 = 2x - 4 \iff 3x - 2x = -4 - 5 \iff x = -9$. Vérification : $3(-9)+5 = -22$ et $2(-9)-4 = -22$.
   3. $\dfrac{5}{x} = 2 \iff 5 = 2x \iff x = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$.
   4. $2x - 3 < 7 \iff 2x < 10 \iff x < 5$. L'ensemble des solutions est $\ ]-\infty\,;\,5[$.
5. 5

   Hausse et baisse successives en pourcentage

   Moyen

   Un article coûte $80$ €. Son prix augmente d'abord de $5\,\%$, puis, lors des soldes, il baisse de $10\,\%$.

   1. Par quel coefficient multiplicateur traduit-on une hausse de $5\,\%$ ? une baisse de $10\,\%$ ?
   2. Calculer le prix final de l'article.
   3. Déterminer le coefficient multiplicateur global, puis l'évolution globale en pourcentage.
   Voir un indice

   Augmenter de $t\,\%$ revient à multiplier par $1 + \tfrac{t}{100}$ ; diminuer de $t\,\%$ revient à multiplier par $1 - \tfrac{t}{100}$. Les coefficients se multiplient.

   Voir la correction

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

6. 6

   Étude d'une fonction affine

   Moyen

   On considère la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x - 3$.

   1. Calculer l'image de $4$ par $f$.
   2. Déterminer l'antécédent de $7$ par $f$.
   3. La fonction $f$ est-elle linéaire ? Justifier.
   4. Donner le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de sa représentation graphique.
   Voir un indice

   L'image de $a$ est $f(a)$. Un antécédent de $b$ est une solution de $f(x) = b$. Une fonction linéaire est de la forme $x \mapsto ax$ (sans terme constant).

   Voir la correction

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

7. 7

   Pythagore, cosinus et théorème de Thalès

   Moyen

   Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm.

   1. Calculer la longueur $BC$.
   2. Donner la valeur de $\cos(\widehat{ABC})$ sous forme de fraction.
   3. Le point $M$ appartient à $[AB]$ et le point $N$ à $[AC]$, avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$. Sachant que $AM = 1{,}5$ cm, déterminer $AN$ à l'aide du théorème de Thalès.
   Voir un indice

   Utiliser le théorème de Pythagore pour $BC$. Dans le triangle rectangle, $\cos = \tfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$. Pour Thalès, écrire l'égalité des rapports $\tfrac{AM}{AB} = \tfrac{AN}{AC}$.

   Voir la correction

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   On relève les notes suivantes d'un groupe de $9$ élèves :

   $$4,\ 7,\ 7,\ 9,\ 10,\ 12,\ 15,\ 18,\ 20.$$

   1. Calculer la moyenne de cette série.
   2. Déterminer la médiane.
   3. Déterminer le premier quartile $Q_1$ et le troisième quartile $Q_3$.
   4. Décrire les cinq nombres nécessaires pour tracer la boîte à moustaches.
   Voir un indice

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

   Voir la correction

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   Une urne contient $12$ boules indiscernables au toucher : $5$ rouges, $4$ vertes et $3$ bleues. On tire une boule au hasard, il y a équiprobabilité. On note $\Omega$ l'univers.

   1. Donner $\mathrm{Card}(\Omega)$, puis calculer la probabilité de tirer une boule rouge.
   2. Calculer la probabilité de l'évènement « la boule n'est pas rouge » de deux manières.
   3. Vérifier que la somme des probabilités des trois couleurs vaut $1$, et que chaque probabilité est bien comprise entre $0$ et $1$.
   Voir un indice

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

   Voir la correction

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité