Ascension Maths

I. Multiples et diviseurs

Ce chapitre travaille dans l'ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs, c'est-à-dire les entiers positifs et négatifs, et dans l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels, qui n'en garde que la partie positive.

DéfinitionMultiple et diviseur

On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$ . Le nombre $a$ est un multiple de $b$ lorsqu'il existe un entier $k$ tel que

a = k \times b

Dans ce cas, on dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$ , ou que $b$ divise $a$ . Les deux formulations décrivent la même situation, vue depuis l'un ou l'autre des deux nombres.

Exemple

Le nombre $56$ est un multiple de $7$ , puisque $56 = 8 \times 7$ . Autrement dit, $7$ divise $56$ , et $8$ aussi.

Le nombre $0$ est un multiple de tous les entiers, car $0 = 0 \times b$ quel que soit $b$ .

MéthodeDémontrer qu'un nombre est un multiple

La démarche consiste toujours à exhiber le facteur entier promis par la définition. Il faut donc transformer l'expression jusqu'à faire apparaître explicitement le produit $k \times b$ , en précisant que $k$ est bien un entier.

Démonstration : La somme de deux multiples de 7 est un multiple de 7

On considère deux multiples de $7$ , notés $a$ et $b$ . Par définition, il existe deux entiers $k$ et $k'$ tels que $a = 7k$ et $b = 7k'$ . Alors

a + b = 7k + 7k' = 7\,(k+k')

Comme $k+k'$ est un entier, la somme $a+b$ s'écrit bien sous la forme $7 \times \text{entier}$ : c'est un multiple de $7$ .

La démonstration ne dépend pas de la valeur $7$ . Elle vaut pour n'importe quel entier fixé à la place.

II. Nombres pairs et impairs

DéfinitionPair, impair

Un entier $n$ est pair lorsqu'il est un multiple de $2$ , c'est-à-dire lorsqu'il existe un entier $k$ tel que $n = 2k$ .

Un entier $n$ est impair lorsqu'il s'écrit $n = 2k+1$ pour un certain entier $k$ .

Tout entier est soit pair, soit impair, et jamais les deux à la fois.

Remarque

Ces deux écritures générales, $2k$ et $2k+1$ , sont les outils de travail du chapitre. Dès qu'un énoncé parle de parité, les poser sur la copie est le premier geste utile.

Démonstration : Le carré d'un nombre impair est impair

On considère un entier impair $n$ . Il s'écrit $n = 2k+1$ avec $k$ entier, donc

n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2\,(2k^2+2k)+1

Le nombre $2k^2+2k$ est un entier, donc $n^2$ est de la forme $2 \times \text{entier} + 1$ : le carré $n^2$ est impair.

Exemple

La démonstration précédente permet de trancher sans calcul : $2027^2$ est impair, puisque $2027$ l'est. Inutile de poser la multiplication.

III. Fractions irréductibles

DéfinitionFraction irréductible

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que $1$ . C'est l'écriture la plus simple de ce nombre.

MéthodeRendre une fraction irréductible

On cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur, on simplifie, puis on recommence tant qu'un diviseur commun subsiste. Décomposer les deux nombres en produits de facteurs premiers rend la recherche systématique.

Par exemple, pour la fraction $\dfrac{84}{126}$ :

84 = 2^2 \times 3 \times 7 \qquad 126 = 2 \times 3^2 \times 7

Les facteurs communs sont $2$ , $3$ et $7$ , dont le produit vaut $42$ . En divisant en haut et en bas par $42$ , il reste $\dfrac{2}{3}$ .

Attention

Simplifier une fraction ne consiste pas à barrer des termes d'une somme. L'écriture $\dfrac{3+x}{3}$ ne se simplifie pas en $x$ : seul un facteur commun à tout le numérateur et à tout le dénominateur peut disparaître.

IV. Deux algorithmes du programme

ExempleTester si un entier est multiple d'un autre

L'opérateur % de Python donne le reste de la division euclidienne. Un entier a est un multiple de b exactement lorsque ce reste est nul.

def est_multiple(a, b):
    return a % b == 0

ExempleLe plus grand multiple de a inférieur ou égal à b

def plus_grand_multiple(a, b):
    m = 0
    while m + a <= b:
        m = m + a
    return m

La boucle avance de $a$ en $a$ et s'arrête juste avant de dépasser $b$ .

Passer à la pratique

9 exercices corrigés sur ce chapitre.

Arithmétique

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Multiples et diviseurs

II. Nombres pairs et impairs

III. Fractions irréductibles

IV. Deux algorithmes du programme