Arithmétique

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   On rappelle qu'un entier $a$ est un multiple d'un entier $b$ s'il existe un entier $k$ tel que $a = kb$.

   1. Parmi les entiers suivants, lesquels sont des multiples de $7$ : $28$, $35$, $50$, $77$, $84$ ?
   2. Citer tous les diviseurs positifs de $24$.
   3. L'entier $6$ est-il un diviseur de $138$ ? Justifier par un calcul.
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   Pour la question 1, cherche pour chaque nombre s'il existe un entier $k$ tel que le nombre égale $7k$. Pour la question 3, effectue la division de $138$ par $6$.

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   1. $28 = 7 \times 4$, $35 = 7 \times 5$, $77 = 7 \times 11$, $84 = 7 \times 12$ : ce sont des multiples de $7$. En revanche $50 = 7 \times 7 + 1$ n'est pas un multiple de $7$.
   2. Les diviseurs positifs de $24$ sont : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$ et $24$.
   3. On calcule $138 = 6 \times 23$. Comme $23$ est un entier, $6$ est bien un diviseur de $138$.
2. 2

   Exercice 2

   Facile
   1. Écrire la définition d'un nombre pair et celle d'un nombre impair à l'aide d'un entier $k$.
   2. Le nombre $2\,024$ est-il pair ou impair ? Et le nombre $3\,571$ ?
   3. Un nombre entier s'écrit $n = 2k+1$ avec $k$ entier. Que vaut $n$ lorsque $k = 0$, $k = 4$ et $k = 10$ ?
   Voir un indice

   Un entier pair s'écrit $2k$ ; un entier impair s'écrit $2k+1$. Un nombre est pair si son chiffre des unités est $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$.

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   1. Un entier $n$ est pair s'il existe un entier $k$ tel que $n = 2k$. Il est impair s'il existe un entier $k$ tel que $n = 2k+1$.
   2. Le chiffre des unités de $2\,024$ est $4$ : ce nombre est pair ($2\,024 = 2 \times 1\,012$). Le chiffre des unités de $3\,571$ est $1$ : ce nombre est impair ($3\,571 = 2 \times 1\,785 + 1$).
   3. Pour $k = 0$ : $n = 1$. Pour $k = 4$ : $n = 9$. Pour $k = 10$ : $n = 21$.
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Rendre chacune des fractions suivantes irréductible :

   $$\frac{18}{24}, \qquad \frac{45}{60}, \qquad \frac{84}{126}.$$
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   Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont plus de diviseur commun autre que $1$. Simplifie par étapes, ou cherche directement le plus grand diviseur commun.

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   $$\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}.$$ $$\frac{45}{60} = \frac{45 \div 15}{60 \div 15} = \frac{3}{4}.$$ $$\frac{84}{126} = \frac{84 \div 42}{126 \div 42} = \frac{2}{3}.$$

   On peut vérifier : $84 = 42 \times 2$ et $126 = 42 \times 3$.

4. 4

   Exercice 4

   Facile

   Dans une salle, on veut ranger $60$ chaises en rangées identiques, chaque rangée comportant le même nombre de chaises.

   1. Quels sont les nombres de chaises possibles par rangée ?
   2. Si l'on souhaite entre $7$ et $15$ rangées, quelles dispositions sont possibles ?
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   Le nombre de chaises par rangée doit être un diviseur de $60$. Le nombre de rangées est alors $60$ divisé par ce nombre.

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   1. Le nombre de chaises par rangée doit diviser $60$. Les diviseurs de $60$ sont : $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $10$, $12$, $15$, $20$, $30$, $60$. Toutes ces valeurs sont possibles.
   2. Le nombre de rangées, égal à $60$ divisé par le nombre de chaises par rangée, doit être compris entre $7$ et $15$. Les diviseurs de $60$ compris entre $7$ et $15$ sont $10$, $12$ et $15$. On obtient donc : $60 = 10 \times 6 = 12 \times 5 = 15 \times 4.$ Les dispositions possibles sont : $10$ rangées de $6$ chaises, $12$ rangées de $5$ chaises, ou $15$ rangées de $4$ chaises.
5. 5

   Somme et produit de multiples de $5$

   Moyen

   On considère deux multiples de $5$, notés $a$ et $b$.

   1. Démontrer que la somme $a + b$ est encore un multiple de $5$.
   2. Démontrer que la différence $a - b$ est aussi un multiple de $5$.
   3. Le produit $ab$ est-il nécessairement un multiple de $5$ ? Justifier.
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   Puisque $a$ et $b$ sont des multiples de $5$, on peut écrire $a = 5k$ et $b = 5k'$ avec $k$ et $k'$ entiers. Factorise ensuite par $5$.

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6. 6

   Carré d'un nombre impair

   Moyen

   Le but de cet exercice est de démontrer que le carré d'un nombre impair est impair.

   1. Soit $n$ un entier impair. Justifier que l'on peut écrire $n = 2k+1$ avec $k$ entier.
   2. Développer $n^2$ et le mettre sous la forme $2K + 1$ où $K$ est un entier à préciser.
   3. Conclure.
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   Développe $(2k+1)^2$ à l'aide de l'identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, puis factorise par $2$ tout ce qui peut l'être.

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7. 7

   Algorithme du plus grand multiple

   Moyen

   On s'intéresse à l'algorithme suivant, où $a$ et $b$ sont deux entiers strictement positifs donnés.

   \begin{minipage}{0.7\linewidth} $m \leftarrow 0$

   Tant que $m + a \leq b$ :

   \hspace*{1cm} $m \leftarrow m + a$

   Fin Tant que

   Afficher $m$ \end{minipage}

   1. Faire fonctionner l'algorithme à la main pour $a = 7$ et $b = 30$. Quelle valeur affiche-t-il ?
   2. Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?
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   Complète un tableau de valeurs successives de $m$ tant que la condition $m + a \leq b$ est vraie. Observe que $m$ progresse de $a$ en $a$.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   On souhaite montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$.

   1. On note $n$ le plus petit des trois entiers. Exprimer les deux entiers suivants en fonction de $n$, puis calculer la somme $S$ des trois entiers.
   2. Démontrer que $S$ est un multiple de $3$.
   3. La somme de quatre entiers consécutifs est-elle toujours un multiple de $4$ ? Justifier à l'aide d'un contre-exemple.
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   Un entier naturel est dit parfait lorsqu'il est égal à la somme de ses diviseurs stricts (ses diviseurs positifs autres que lui-même).

   1. Déterminer tous les diviseurs positifs de $6$, puis vérifier que $6$ est un nombre parfait.
   2. Le nombre $28$ est-il parfait ? Justifier en listant ses diviseurs.
   3. Le nombre $12$ est-il parfait ? Justifier.
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