Ascension Maths

I. Puissances et racines carrées

PropriétéRègles sur les puissances

On considère un réel $a$ non nul et deux entiers relatifs $m$ et $n$ .

a^m \times a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \qquad (a^m)^n=a^{mn}

(ab)^n = a^n b^n \qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n} \qquad a^0 = 1

DéfinitionRacine carrée

La racine carrée d'un réel positif $a$ , notée $\sqrt{a}$ , est l'unique réel positif dont le carré vaut $a$ . La racine carrée d'un nombre strictement négatif n'existe pas dans $\mathbb{R}$ .

PropriétéRègles sur les racines carrées

On considère deux réels positifs $a$ et $b$ , le second étant non nul dans le quotient.

\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b} \qquad \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \qquad \sqrt{a^2}=|a|

Attention

La racine carrée ne se distribue pas sur l'addition : le nombre $\sqrt{9+16}$ vaut $\sqrt{25}=5$ , alors que $\sqrt{9}+\sqrt{16}$ vaut $3+4=7$ . Aucune règle ne permet de simplifier $\sqrt{a+b}$ .

Démonstration : Le produit des racines est la racine du produit

On considère deux réels positifs $a$ et $b$ , et on compare les deux nombres $\sqrt{ab}$ et $\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ .

Ces deux nombres sont positifs, comme produits et racines de nombres positifs. Il suffit donc de vérifier qu'ils ont le même carré, puisque deux nombres positifs de même carré sont égaux.

\left(\sqrt{ab}\right)^2 = ab \qquad \left(\sqrt{a}\times\sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2 \times \left(\sqrt{b}\right)^2 = ab

Les carrés sont égaux et les nombres sont positifs, donc $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ .

Exemple

Cette règle sert à simplifier les écritures :

\sqrt{50}=\sqrt{25 \times 2}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}

II. Transformer une expression

Une même expression littérale possède plusieurs écritures. Elles donnent toutes les mêmes valeurs, mais elles ne répondent pas aux mêmes questions.

PropriétéIdentités remarquables

On considère deux réels $a$ et $b$ .

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \qquad (a+b)(a-b)=a^2-b^2

MéthodeChoisir la bonne forme

La forme développée réduite convient pour calculer une image ou comparer des coefficients.

La forme factorisée convient pour résoudre une équation ou étudier un signe, car elle fait apparaître les valeurs qui annulent l'expression.

Une même question peut donc commencer par une transformation, et c'est souvent la première ligne de la solution.

Exemple

Prenons l'expression $E(x)=x^2-6x+9$ . Sa forme factorisée est $(x-3)^2$ , ce qui rend immédiate la résolution de $E(x)=0$ : la seule solution est $x=3$ .

Remarque

Exprimer une variable en fonction des autres relève du même travail. La relation $U=RI$ donne $I=\dfrac{U}{R}$ , et la formule $V=\pi r^2 h$ donne $h=\dfrac{V}{\pi r^2}$ , à condition que les dénominateurs ne soient pas nuls.

III. Comparer et manipuler des inégalités

PropriétéOpérations sur les inégalités

On considère quatre réels $a$ , $b$ , $c$ et $k$ .

Si $a \leqslant b$ , alors $a+c \leqslant b+c$ : ajouter un même nombre ne change pas le sens.

Si $a \leqslant b$ et $k > 0$ , alors $ka \leqslant kb$ : multiplier par un nombre strictement positif ne change pas le sens.

Si $a \leqslant b$ et $k < 0$ , alors $ka \geqslant kb$ : multiplier par un nombre strictement négatif change le sens.

MéthodeComparer deux nombres

Deux techniques se complètent.

La comparaison par différence consiste à étudier le signe de $a-b$ : si cette différence est positive, alors $a$ est le plus grand.

La comparaison par quotient ne vaut que pour des nombres strictement positifs : si le quotient $\dfrac{a}{b}$ dépasse $1$ , alors $a$ est le plus grand.

Exemple

Comparons $\dfrac{7}{9}$ et $\dfrac{8}{11}$ par différence :

\frac{7}{9}-\frac{8}{11}=\frac{77-72}{99}=\frac{5}{99}>0

La différence est positive, donc $\dfrac{7}{9}$ est le plus grand des deux.

IV. Équations, inéquations et tableaux de signes

PropriétéPremier degré

On considère deux réels $a$ et $b$ , avec $a \neq 0$ .

L'équation $ax+b=0$ admet une unique solution, le nombre $-\dfrac{b}{a}$ .

L'inéquation $ax+b>0$ a pour ensemble de solutions $\left]-\dfrac{b}{a}\,;+\infty\right[$ si $a>0$ , et $\left]-\infty\,;-\dfrac{b}{a}\right[$ si $a<0$ .

PropriétéÉquation produit nul

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul :

A(x) \times B(x)=0 \quad \Longleftrightarrow \quad A(x)=0 \;\text{ ou }\; B(x)=0

MéthodeDresser un tableau de signes

Pour étudier le signe d'un produit ou d'un quotient, la démarche comporte quatre étapes.

Chercher les valeurs qui annulent chaque facteur, ainsi que celles qui annulent un dénominateur.
Ranger ces valeurs dans l'ordre croissant sur la première ligne du tableau.
Donner le signe de chaque facteur sur chaque intervalle, en s'appuyant sur la règle du premier degré.
Multiplier les signes colonne par colonne pour obtenir la dernière ligne.

Une valeur interdite se marque par une double barre dans le tableau, car l'expression n'y est pas définie.

ExempleSigne d'un produit

Étudions le signe de $(x-2)(3-x)$ .

Le facteur $x-2$ s'annule en $2$ et il est négatif avant, positif après. Le facteur $3-x$ s'annule en $3$ et il est positif avant, négatif après.

$x$		$2$		$3$
$x-2$	$-$	$0$	$+$		$+$
$3-x$	$+$		$+$	$0$	$-$
produit	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Le produit est donc positif exactement sur l'intervalle $[2\,;3]$ .

Attention

Une équation du type $\dfrac{A(x)}{B(x)}=k$ demande de commencer par écarter les valeurs qui annulent $B(x)$ . Les oublier conduit à annoncer des solutions qui n'existent pas.

Algèbre

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Puissances et racines carrées

II. Transformer une expression

III. Comparer et manipuler des inégalités

IV. Équations, inéquations et tableaux de signes