Algèbre

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Simplifier et donner le résultat sous forme d'une seule puissance :

   $$2^5 \times 2^3, \qquad \frac{7^8}{7^5}, \qquad \left(3^2\right)^4, \qquad 5^{-2} \times 5^{6}.$$
   Voir un indice

   Utilise les règles : $a^m \times a^n = a^{m+n}$, $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ et $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$.

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   $$2^5 \times 2^3 = 2^{5+3} = 2^8.$$ $$\frac{7^8}{7^5} = 7^{8-5} = 7^3.$$ $$\left(3^2\right)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8.$$ $$5^{-2} \times 5^{6} = 5^{-2+6} = 5^4.$$
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Simplifier les expressions suivantes en écrivant le résultat sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ le plus petit possible :

   $$\sqrt{50}, \qquad \sqrt{12} + \sqrt{27}, \qquad \sqrt{3} \times \sqrt{6}.$$
   Voir un indice

   Décompose le nombre sous la racine en faisant apparaître un carré parfait, puis utilise $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ (pour $a, b \geq 0$).

   Voir la correction

   $$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25}\,\sqrt{2} = 5\sqrt{2}.$$

   Pour la deuxième : $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$ et $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$, donc

   $$\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}.$$

   Enfin :

   $$\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}.$$
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :

   1. $3x - 12 = 0$ ;
   2. $2x + 5 > 0$ ;
   3. $x^2 = 49$.
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   Pour une équation du premier degré, isole $x$. Pour l'inéquation, attention au sens si tu divises par un nombre négatif. Pour $x^2 = a$ avec $a > 0$, il y a deux solutions $\pm\sqrt{a}$.

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   1. $3x - 12 = 0 \iff 3x = 12 \iff x = 4$. Solution : $x = 4$.
   2. $2x + 5 > 0 \iff 2x > -5 \iff x > -\dfrac{5}{2}$. L'ensemble des solutions est $\left]-\dfrac{5}{2}\,;+\infty\right[$.
   3. $x^2 = 49 \iff x = 7$ ou $x = -7$. L'ensemble des solutions est $\{-7\,;7\}$.
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   On donne l'expression $A(x) = (x - 3)(2x + 1)$.

   1. Développer et réduire $A(x)$.
   2. Résoudre l'équation produit nul $A(x) = 0$.
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   Pour développer, utilise la double distributivité. Pour l'équation, rappelle-toi qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.

   Voir la correction

   1. On développe : $A(x) = (x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3.$
   2. À partir de la forme factorisée : $A(x) = 0 \iff (x - 3)(2x + 1) = 0$, donc $x - 3 = 0$ ou $2x + 1 = 0$, c'est-à-dire $x = 3$ ou $x = -\dfrac{1}{2}$. L'ensemble des solutions est $\left\{-\dfrac{1}{2}\,;3\right\}$.
5. 5

   Signe d'un produit de facteurs

   Moyen

   On considère l'expression $B(x) = (2x - 6)(x + 4)$.

   1. Étudier le signe de chacun des facteurs $2x - 6$ et $x + 4$.
   2. Dresser le tableau de signes de $B(x)$ sur $\mathbb{R}$.
   3. En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $B(x) \leq 0$.
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   Chaque facteur du premier degré s'annule en une valeur. Un facteur $ax + b$ avec $a > 0$ est négatif avant sa racine et positif après. Le signe du produit est donné par la règle des signes.

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6. 6

   Équations et inéquations, équation quotient

   Moyen
   1. Résoudre l'équation $5x - 3 = 2x + 9$.
   2. Résoudre l'inéquation $4 - 3x \geq 10$.
   3. On considère l'équation quotient $\dfrac{2x - 1}{x + 2} = 3$. Après avoir donné l'ensemble de définition, résoudre cette équation.
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   Regroupe les termes en $x$ d'un côté. Pour l'inéquation, la division par $-3$ change le sens de l'inégalité. Pour le quotient, exclus la valeur qui annule le dénominateur, puis multiplie en croix.

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7. 7

   Périmètre d'un rectangle et formule

   Moyen

   Un rectangle a une longueur $L$ et une largeur $\ell$.

   1. Rappeler la formule donnant le périmètre $P$ du rectangle en fonction de $L$ et $\ell$.
   2. Exprimer $L$ en fonction de $P$ et de $\ell$.
   3. Un rectangle a un périmètre de $30$ cm et une largeur de $6$ cm. Calculer sa longueur.
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   Le périmètre d'un rectangle vaut $P = 2(L + \ell)$. Isole $L$ en effectuant les opérations inverses.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   On veut démontrer que, pour tous réels positifs $a$ et $b$, on a $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}$.

   1. Justifier que $\sqrt{a}\,\sqrt{b}$ est un nombre positif.
   2. Calculer $\left(\sqrt{a}\,\sqrt{b}\right)^2$ à l'aide des règles sur les carrés.
   3. Conclure en utilisant le fait que $\sqrt{ab}$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut $ab$.
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   Le but est de comparer la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de deux réels positifs $a$ et $b$.

   1. Développer $\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^2$.
   2. En déduire que $a + b \geq 2\sqrt{ab}$, puis que $\dfrac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$.
   3. Dans quel cas y a-t-il égalité ? Illustrer avec $a = 2$ et $b = 8$.
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