Ascension Maths

I. Ensembles et intervalles

Les notations ensemblistes servent d'écriture commune à tous les chapitres de l'année. Ce paragraphe les rassemble, en reprenant ce qui a été vu en Seconde.

DéfinitionAppartenance, inclusion, opérations

Le symbole $\in$ relie un élément à un ensemble, le symbole $\subset$ relie deux ensembles.

La réunion $A \cup B$ rassemble les éléments qui sont dans $A$ ou dans $B$ . L'intersection $A \cap B$ rassemble ceux qui sont dans les deux. Le complémentaire $\overline{A}$ de $A$ dans un ensemble $E$ rassemble les éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$ .

L'ensemble vide se note $\varnothing$ , et le nombre d'éléments d'un ensemble fini $A$ se note $\text{Card}(A)$ .

PropriétéEnsembles de nombres

Les cinq ensembles usuels s'emboîtent :

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Un intervalle de $\mathbb{R}$ décrit un morceau de la droite numérique, avec ou sans ses bornes, par exemple $[a\,;b]$ , $]a\,;b[$ ou $[a\,;+\infty[$ .

DéfinitionCouple et produit cartésien

Un couple $(x\,;y)$ est la donnée de deux objets dans un ordre fixé. Le produit cartésien $A \times B$ est l'ensemble des couples dont le premier terme est dans $A$ et le second dans $B$ . Le plan repéré s'identifie ainsi à $\mathbb{R}^2$ .

II. Le statut des lettres et des égalités

Une même lettre ne joue pas toujours le même rôle, et une même égalité ne demande pas toujours le même travail. Repérer ce statut évite de chercher à résoudre ce qui est déjà vrai, ou de traiter comme évidente une équation qui ne l'est pas.

DéfinitionIdentité et équation

Une identité est une égalité vraie pour toutes les valeurs des lettres qu'elle contient. L'égalité $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ en est une : rien n'est à résoudre, elle sert à transformer.

Une équation est une égalité vraie seulement pour certaines valeurs, qu'il s'agit précisément de déterminer. L'égalité $x^2=4$ en est une : elle n'est vraie que pour $x=2$ et $x=-2$ .

DéfinitionVariable, inconnue, paramètre

Une variable parcourt un ensemble : dans l'écriture $f(x)=3x+1$ , la lettre $x$ décrit toutes les valeurs de l'ensemble de définition.

Une inconnue désigne un nombre cherché : dans l'équation $3x+1=0$ , la lettre $x$ ne représente que les solutions.

Un paramètre est une lettre fixée mais non précisée, qui sert à traiter d'un coup toute une famille de cas : dans $f(x)=ax+b$ , les lettres $a$ et $b$ sont des paramètres.

Exemple

Dans l'énoncé « pour quelles valeurs de $m$ l'équation $x^2+mx+1=0$ a-t-elle deux solutions ? », la lettre $x$ est l'inconnue de l'équation et la lettre $m$ est un paramètre. La question porte sur le paramètre, pas sur l'inconnue.

III. Quantifications et négation

DéfinitionLes deux quantifications

La quantification universelle annonce qu'une propriété vaut sans exception : « pour tout réel $x$ , on a $x^2 \geqslant 0$ ».

La quantification existentielle annonce qu'au moins un cas convient : « il existe un réel $x$ tel que $x^2=2$ ».

Les symboles $\forall$ et $\exists$ ne sont pas exigibles, mais ils peuvent être rencontrés.

Attention

Beaucoup de quantifications restent sous-entendues. La phrase « la fonction carré est positive » signifie en réalité « pour tout réel $x$ , on a $x^2 \geqslant 0$ ». De même, une implication du type « si $x>2$ alors $x^2>4$ » contient une quantification universelle implicite sur $x$ .

PropriétéNégation d'une proposition quantifiée

La négation d'une proposition universelle est une proposition existentielle, et réciproquement.

La négation de « pour tout $x$ , $P(x)$ » est « il existe un $x$ tel que $P(x)$ soit fausse ».

La négation de « il existe un $x$ tel que $P(x)$ » est « pour tout $x$ , $P(x)$ est fausse ».

Exemple

La négation de « tous les élèves de la classe ont réussi » n'est pas « aucun élève n'a réussi », mais « au moins un élève n'a pas réussi ».

De la même façon, la négation de « pour tout réel $x$ , on a $f(x)>0$ » est « il existe un réel $x$ tel que $f(x) \leqslant 0$ ».

IV. Implication, conditions nécessaire et suffisante

DéfinitionImplication et équivalence

L'implication « $P \Rightarrow Q$ » signifie que $Q$ est vraie chaque fois que $P$ l'est. On dit alors que $P$ est une condition suffisante pour $Q$ , et que $Q$ est une condition nécessaire à $P$ .

Lorsque l'implication et sa réciproque « $Q \Rightarrow P$ » sont toutes les deux vraies, on écrit « $P \Leftrightarrow Q$ » : les deux propositions sont équivalentes, et chacune est une condition nécessaire et suffisante pour l'autre.

DéfinitionRéciproque et contraposée

La réciproque de « $P \Rightarrow Q$ » est « $Q \Rightarrow P$ ». Elle n'a aucune raison d'être vraie en même temps que l'implication de départ.

La contraposée de « $P \Rightarrow Q$ » est « (non $Q$ ) $\Rightarrow$ (non $P$ ) ». Elle est toujours équivalente à l'implication de départ.

Exemple

Considérons l'implication « si un entier est un multiple de $4$ , alors il est pair ». Elle est vraie.

Sa réciproque, « si un entier est pair, alors il est un multiple de $4$ », est fausse, comme le montre l'entier $6$ .

Sa contraposée, « si un entier n'est pas pair, alors il n'est pas un multiple de $4$ », est vraie.

V. Quatre façons de raisonner

MéthodeLe contre-exemple

Pour montrer qu'une proposition universelle est fausse, un seul cas suffit. La proposition « pour tout réel $x$ , on a $x^2 \geqslant x$ » tombe avec $x=0{,}5$ .

MéthodeLa disjonction des cas

Lorsque le traitement dépend de la situation, on découpe en cas qui couvrent toutes les possibilités. L'étude du signe de $|x|$ ou d'une expression contenant un paramètre s'y prête naturellement.

MéthodeLe raisonnement par contraposée

Pour démontrer « $P \Rightarrow Q$ », il est parfois plus simple de démontrer « (non $Q$ ) $\Rightarrow$ (non $P$ ) », ce qui revient au même.

Ainsi, pour montrer que le carré d'un entier pair est pair, on peut démontrer à la place que si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair.

Démonstration : Un raisonnement par l'absurde

Montrons qu'il n'existe pas de réel $x$ tel que $x^2+1=0$ .

Supposons le contraire : un tel réel $x$ existe. Alors $x^2=-1$ . Or le carré d'un réel est toujours positif ou nul, donc $x^2 \geqslant 0$ , ce qui contredit l'égalité obtenue.

La supposition mène à une contradiction, donc aucun réel ne vérifie cette équation.

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9 exercices corrigés sur ce chapitre.

Vocabulaire ensembliste et logique

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Ensembles et intervalles

II. Le statut des lettres et des égalités

III. Quantifications et négation

IV. Implication, conditions nécessaire et suffisante

V. Quatre façons de raisonner