Vocabulaire ensembliste et logique

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   On considère l'ensemble $A = \{-3\,;\,-1\,;\,0\,;\,2\,;\,5\}$.

   1. Compléter par le symbole $\in$ ou $\notin$ : $-1 \ \ldots\ A, \qquad 3 \ \ldots\ A, \qquad 0 \ \ldots\ A, \qquad 5 \ \ldots\ A.$
   2. Donner $\mathrm{Card}(A)$.
   3. Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des sous-ensembles de $A$ ? Justifier. $B = \{-1\,;\,2\}, \qquad C = \{0\,;\,1\}, \qquad D = \varnothing, \qquad E = \{-3\,;\,5\,;\,2\}.$
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   Un élément appartient ($\in$) à un ensemble s'il figure dans la liste. Un ensemble $X$ est inclus dans $A$ ($X \subset A$) si tous les éléments de $X$ sont dans $A$. Rappel : l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble.

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   1. On regarde si chaque nombre figure dans la liste de $A$ : $-1 \in A, \qquad 3 \notin A, \qquad 0 \in A, \qquad 5 \in A.$
   2. $A$ possède $5$ éléments distincts, donc $\mathrm{Card}(A) = 5$.

   • 1. $B = \{-1\,;\,2\}$ : $-1 \in A$ et $2 \in A$, donc $B \subset A$. 1. $C = \{0\,;\,1\}$ : $0 \in A$ mais $1 \notin A$, donc $C \not\subset A$. 1. $D = \varnothing$ : l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble, donc $D \subset A$. 1. $E = \{-3\,;\,5\,;\,2\}$ : $-3 \in A$, $5 \in A$ et $2 \in A$, donc $E \subset A$.
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   On considère les intervalles $I = [-2\,;\,4[$ et $J = \,]1\,;\,6]$.

   1. Déterminer $I \cap J$ et $I \cup J$.
   2. Le réel $4$ appartient-il à $I$ ? À $J$ ? À $I \cup J$ ?
   3. On note $K = \mathbb{R} \setminus J$ le complémentaire de $J$ dans $\mathbb{R}$. Écrire $K$ à l'aide d'intervalles.
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   Représenter les deux intervalles sur une même droite graduée. L'intersection est la partie commune, la réunion est la partie couverte par au moins l'un des deux. Attention aux crochets ouverts/fermés pour les bornes.

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   1. $I = [-2\,;\,4[$ contient les réels $x$ tels que $-2 \le x < 4$, et $J = \,]1\,;\,6]$ ceux tels que $1 < x \le 6$.

   • 1. Intersection : les $x$ vérifiant à la fois $-2 \le x < 4$ et $1 < x \le 6$, soit $1 < x < 4$. Donc $I \cap J = \,]1\,;\,4[$. 1. Réunion : les $x$ vérifiant $-2 \le x < 4$ ou $1 < x \le 6$, soit $-2 \le x \le 6$. Donc $I \cup J = [-2\,;\,6]$.

   1. Dans $I = [-2\,;\,4[$, la borne $4$ est exclue : $4 \notin I$. Dans $J = \,]1\,;\,6]$, on a $1 < 4 \le 6$, donc $4 \in J$. Comme $4 \in J$, on a $4 \in I \cup J$.
   2. Le complémentaire de $J = \,]1\,;\,6]$ dans $\mathbb{R}$ est l'ensemble des réels qui ne sont pas dans $J$, c'est-à-dire $x \le 1$ ou $x > 6$ : $K = \mathbb{R} \setminus J = \,]-\infty\,;\,1] \ \cup \ ]6\,;\,+\infty[.$
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est fausse, donner un contre-exemple.

   1. Pour tout réel $x$, on a $x^2 \ge x$.
   2. Il existe un entier naturel $n$ tel que $n^2 = 49$.
   3. Pour tout réel $x$, si $x > 2$ alors $x^2 > 4$.
   4. Tout nombre entier pair est un multiple de $4$.
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   Une proposition « pour tout … » est fausse dès qu'un seul cas la met en défaut : c'est un contre-exemple. Une proposition « il existe … » est vraie dès qu'on exhibe un exemple qui convient.

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   1. Fausse. Prenons $x = \tfrac{1}{2}$ : alors $x^2 = \tfrac{1}{4}$ et $\tfrac{1}{4} < \tfrac{1}{2}$, donc $x^2 \ge x$ est en défaut. Contre-exemple : $x = \tfrac{1}{2}$.
   2. Vraie. Il suffit d'exhiber un entier : $n = 7$ convient car $7^2 = 49$.
   3. Vraie. Si $x > 2$, alors $x > 0$ ; la fonction carré est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, donc $x^2 > 2^2 = 4$.
   4. Fausse. Prenons $n = 6$ : il est pair mais $6 = 2 \times 3$ n'est pas multiple de $4$. Contre-exemple : $6$ (ou $2$).
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   On donne les propositions suivantes portant sur un réel $x$ :

   $$P : \ll x = 3 \gg, \qquad Q : \ll x^2 = 9 \gg.$$

   1. Écrire l'implication $P \Longrightarrow Q$ en français et dire si elle est vraie.
   2. Écrire la réciproque $Q \Longrightarrow P$ et dire si elle est vraie.
   3. L'équivalence $P \Longleftrightarrow Q$ est-elle vraie ?
   4. Compléter avec « condition nécessaire », « condition suffisante » ou « nécessaire et suffisante » :

   « $x = 3$ est une condition …\ pour que $x^2 = 9$. »

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   Pour l'implication, supposer l'hypothèse et vérifier la conclusion. Pour la réciproque, chercher éventuellement un contre-exemple. « $P$ suffisante pour $Q$ » signifie $P \Longrightarrow Q$ ; « $P$ nécessaire pour $Q$ » signifie $Q \Longrightarrow P$.

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   1. $P \Longrightarrow Q$ : « si $x = 3$, alors $x^2 = 9$ ». C'est vrai : si $x = 3$ alors $x^2 = 3^2 = 9$.
   2. $Q \Longrightarrow P$ : « si $x^2 = 9$, alors $x = 3$ ». C'est faux : $x = -3$ vérifie $x^2 = 9$ mais $x \ne 3$. Contre-exemple : $x = -3$.
   3. L'équivalence $P \Longleftrightarrow Q$ demande que les deux implications soient vraies. La réciproque étant fausse, l'équivalence est fausse.
   4. L'implication $P \Longrightarrow Q$ est vraie mais pas sa réciproque : $x = 3$ est donc une condition suffisante (mais non nécessaire) pour que $x^2 = 9$.
5. 5

   Cardinal d'une réunion d'ensembles

   Moyen

   Dans un lycée, on interroge $120$ élèves sur les langues qu'ils étudient. On note $A$ l'ensemble des élèves étudiant l'anglais et $E$ l'ensemble de ceux étudiant l'espagnol. On sait que :

   $$\mathrm{Card}(A) = 90, \qquad \mathrm{Card}(E) = 55, \qquad \mathrm{Card}(A \cap E) = 40.$$

   1. Combien d'élèves étudient l'anglais ou l'espagnol, c'est-à-dire $\mathrm{Card}(A \cup E)$ ?
   2. Combien d'élèves n'étudient aucune de ces deux langues ?
   3. Combien d'élèves étudient l'anglais mais pas l'espagnol, c'est-à-dire $\mathrm{Card}(A \setminus E)$ ?
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   Utiliser la formule du crible : $\mathrm{Card}(A \cup E) = \mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(E) - \mathrm{Card}(A \cap E)$. Les élèves étudiant l'anglais se répartissent entre ceux qui font aussi l'espagnol ($A \cap E$) et ceux qui ne le font pas ($A \setminus E$).

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6. 6

   Disjonction des cas et parité

   Moyen

   On considère la proposition suivante, portant sur les entiers naturels $n$ :

   $$R : \ll \text{Pour tout entier naturel } n,\ n^2 + n \text{ est pair} \gg.$$

   1. Vérifier la proposition pour $n = 0$, $n = 1$ et $n = 4$.
   2. Écrire la négation de $R$.
   3. Démontrer $R$ en raisonnant par disjonction des cas selon la parité de $n$.
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   Un entier est pair s'il s'écrit $2k$ et impair s'il s'écrit $2k+1$ (avec $k$ entier). Traiter séparément le cas $n$ pair et le cas $n$ impair, et factoriser $n^2 + n = n(n+1)$ si besoin.

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7. 7

   Raisonnement par contraposée

   Moyen

   On souhaite démontrer la proposition suivante :

   $$S : \ll \text{Pour tout réel } x,\ \text{si } x^2 \text{ est irrationnel, alors } x \text{ est irrationnel} \gg.$$

   (On rappelle qu'un réel est rationnel s'il s'écrit comme un quotient de deux entiers, et irrationnel sinon.)

   1. Écrire la contraposée de l'implication « si $x^2$ est irrationnel, alors $x$ est irrationnel ».
   2. Démontrer cette contraposée.
   3. Conclure sur la véracité de $S$.
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   La contraposée de « si $P$ alors $Q$ » est « si (non $Q$) alors (non $P$) ». La négation de « irrationnel » est « rationnel ». Le produit de deux rationnels est un rationnel.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   Soit $E = \{1\,;\,2\,;\,3\}$. On appelle partie de $E$ tout sous-ensemble de $E$.

   1. Écrire toutes les parties de $E$ (sans oublier $\varnothing$ ni $E$ lui-même). Combien y en a-t-il ?
   2. On admet que si $\mathrm{Card}(E) = n$, alors $E$ possède $2^n$ parties. Vérifier la cohérence avec la question précédente.
   3. Le produit cartésien $E \times E$ est l'ensemble des couples $(a\,;\,b)$ avec $a \in E$ et $b \in E$. Donner $\mathrm{Card}(E \times E)$, puis expliquer pourquoi le couple $(1\,;\,2)$ est différent du couple $(2\,;\,1)$ alors que $\{1\,;\,2\} = \{2\,;\,1\}$.
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   On veut démontrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel, en raisonnant par l'absurde.

   1. Rappeler ce qu'on cherche à prouver et quelle hypothèse on fait au début d'un raisonnement par l'absurde.
   2. On suppose donc que $\sqrt{2}$ est rationnel, soit $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers naturels non nuls, la fraction étant irréductible. Montrer que $p^2 = 2q^2$, puis que $p$ est pair.
   3. En posant $p = 2k$, montrer que $q$ est aussi pair. Conclure qu'il y a une contradiction, et donc que $\sqrt{2}$ est irrationnel.
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